\lim _{n\to \:\infty \:}\left(\frac{\left(n+1\right)^3+\left(n+2\right)^3}{\left(n+4\right)^3+\left(n+5\right)^3}\right) При решении нужно 1.Расписать числитель и знаменатель, используя формулы сокращëнного умножения 2.в числителе и в знаменателе провести подобные 3.Вынести старшую степень за скобки в числителе, а затем в знаменателе 4.Сократить всп возможные выражения 5.Все выражения вида "Число /n" Заменить на 0

Question 1

Задача Задача №2112415

А

Аноним

06 ноября 2024 09:19 · публичный вопрос

А

Аноним 06 ноября 2024 09:19

\lim _{n\to \:\infty \:}\left(\frac{\left(n+1\right)^3+\left(n+2\right)^3}{\left(n+4\right)^3+\left(n+5\right)^3}\right) При решении нужно 1.Расписать числитель и знаменатель, используя формулы сокращëнного умножения 2.в числителе и в знаменателе провести подобные 3.Вынести старшую степень за скобки в числителе, а затем в знаменателе 4.Сократить всп возможные выражения 5.Все выражения вида "Число /n" Заменить на 0

Answer

Чтобы решить предел \(\lim _{n\to \:\infty \:}\left(\frac{\left(n+1\right)^3+\left(n+2\right)^3}{\left(n+4\right)^3+\left(n+5\right)^3}\right)\), давайте пройдемся по всем шагам, как ты описал.

Распишем числитель и знаменатель, используя формулы сокращенного умножения.

Сначала числитель: \[ (n+1)^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 \] \[ (n+2)^3 = n^3 + 6n^2 + 12n + 8 \]

Теперь сложим: \[ (n+1)^3 + (n+2)^3 = (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) + (n^3 + 6n^2 + 12n + 8) = 2n^3 + 9n^2 + 15n + 9 \]

Теперь для знаменателя: \[ (n+4)^3 = n^3 + 12n^2 + 48n + 64 \] \[ (n+5)^3 = n^3 + 15n^2 + 75n + 125 \]

Теперь сложим: \[ (n+4)^3 + (n+5)^3 = (n^3 + 12n^2 + 48n + 64) + (n^3 + 15n^2 + 75n + 125) = 2n^3 + 27n^2 + 123n + 189 \]

Теперь получили предел в виде: \[ \lim _{n\to \:\infty \:}\left(\frac{2n^3 + 9n^2 + 15n + 9}{2n^3 + 27n^2 + 123n + 189}\right) \]
В числителе и знаменателе мы уже выполнили подобные, теперь можно вынести старшую степень за скобки.
Выносим \(n^3\) за скобки:

Числитель: \[ 2n^3 + 9n^2 + 15n + 9 = n^3\left(2 + \frac{9}{n} + \frac{15}{n^2} + \frac{9}{n^3}\right) \]

Знаменатель: \[ 2n^3 + 27n^2 + 123n + 189 = n^3\left(2 + \frac{27}{n} + \frac{123}{n^2} + \frac{189}{n^3}\right) \]

Таким образом, предел упрощается: \[ \lim _{n\to \:\infty \:}\left(\frac{n^3\left(2 + \frac{9}{n} + \frac{15}{n^2} + \frac{9}{n^3}\right)}{n^3\left(2 + \frac{27}{n} + \frac{123}{n^2} + \frac{189}{n^3}\right)}\right) = \lim _{n\to \:\infty \:}\left(\frac{2 + \frac{9}{n} + \frac{15}{n^2} + \frac{9}{n^3}}{2 + \frac{27}{n} + \frac{123}{n^2} + \frac{189}{n^3}}\right) \]
Сокращаем \(n^3\) и подставляем пределы.
В пределе, когда \(n\) стремится к бесконечности, все выражения вида \(\frac{число}{n}\) уходят в 0: \[ \lim _{n\to \:\infty \:}\left(\frac{2 + 0 + 0 + 0}{2 + 0 + 0 + 0}\right) = \frac{2}{2} = 1 \]

Таким образом, значение предела равно 1: \[ \lim _{n\to \:\infty \:}\left(\frac{\left(n+1\right)^3+\left(n+2\right)^3}{\left(n+4\right)^3+\left(n+5\right)^3}\right) = 1 \]

Question 2

\lim _{n\to \:\infty \:}\left(\frac{\left(n+1\right)^3+\left(n+2\right)^3}{\left(n+4\right)^3+\left(n+5\right)^3}\right) При решении нужно 1.Расписать числитель и знаменатель, используя формулы сокращëнного умножения 2.в числителе и в знаменателе провести подобные 3.Вынести старшую степень за скобки в числителе, а затем в знаменателе 4.Сократить всп возможные выражения 5.Все выражения вида "Число /n" Заменить на 0

Answer

Чтобы решить предел \(\lim _{n\to \:\infty \:}\left(\frac{\left(n+1\right)^3+\left(n+2\right)^3}{\left(n+4\right)^3+\left(n+5\right)^3}\right)\), давайте пройдемся по всем шагам, как ты описал. 1. Распишем числитель и знаменатель, используя формулы сокращенного умножения. Сначала числитель: \[ (n+1)^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 \] \[ (n+2)^3 = n^3 + 6n^2 + 12n + 8 \] Теперь сложим: \[ (n+1)^3 + (n+2)^3 = (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) + (n^3 + 6n^2 + 12n + 8) = 2n^3 + 9n^2 + 15n + 9 \] Теперь для знаменателя: \[ (n+4)^3 = n^3 + 12n^2 + 48n + 64 \] \[ (n+5)^3 = n^3 + 15n^2 + 75n + 125 \] Теперь сложим: \[ (n+4)^3 + (n+5)^3 = (n^3 + 12n^2 + 48n + 64) + (n^3 + 15n^2 + 75n + 125) = 2n^3 + 27n^2 + 123n + 189 \] Теперь получили предел в виде: \[ \lim _{n\to \:\infty \:}\left(\frac{2n^3 + 9n^2 + 15n + 9}{2n^3 + 27n^2 + 123n + 189}\right) \] 2. В числителе и знаменателе мы уже выполнили подобные, теперь можно вынести старшую степень за скобки. 3. Выносим \(n^3\) за скобки: Числитель: \[ 2n^3 + 9n^2 + 15n + 9 = n^3\left(2 + \frac{9}{n} + \frac{15}{n^2} + \frac{9}{n^3}\right) \] Знаменатель: \[ 2n^3 + 27n^2 + 123n + 189 = n^3\left(2 + \frac{27}{n} + \frac{123}{n^2} + \frac{189}{n^3}\right) \] Таким образом, предел упрощается: \[ \lim _{n\to \:\infty \:}\left(\frac{n^3\left(2 + \frac{9}{n} + \frac{15}{n^2} + \frac{9}{n^3}\right)}{n^3\left(2 + \frac{27}{n} + \frac{123}{n^2} + \frac{189}{n^3}\right)}\right) = \lim _{n\to \:\infty \:}\left(\frac{2 + \frac{9}{n} + \frac{15}{n^2} + \frac{9}{n^3}}{2 + \frac{27}{n} + \frac{123}{n^2} + \frac{189}{n^3}}\right) \] 4. Сокращаем \(n^3\) и подставляем пределы. 5. В пределе, когда \(n\) стремится к бесконечности, все выражения вида \(\frac{число}{n}\) уходят в 0: \[ \lim _{n\to \:\infty \:}\left(\frac{2 + 0 + 0 + 0}{2 + 0 + 0 + 0}\right) = \frac{2}{2} = 1 \] Таким образом, значение предела равно 1: \[ \lim _{n\to \:\infty \:}\left(\frac{\left(n+1\right)^3+\left(n+2\right)^3}{\left(n+4\right)^3+\left(n+5\right)^3}\right) = 1 \]