\lim _{n\to \:\infty \:}\left(\frac{\left(n+1\right)^3+\left(n+2\right)^3}{\left(n+4\right)^3+\left(n+5\right)^3}\right) При решении нужно 1.Расписать числитель и знаменатель, используя формулы сокращëнного умножения 2.в числителе и в знаменателе провести подобные 3.Вынести старшую степень за скобки в числителе, а затем в знаменателе 4.Сократить всп возможные выражения 5.Все выражения вида "Число /n" Заменить на 0 простым языком

Давайте вместе разберем предел

\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{(n+1)^3 + (n+2)^3}{(n+4)^3 + (n+5)^3} \right). \]

Шаг 1: Расписываем числитель и знаменатель

Сначала давайте воспользуемся формулами сокращенного умножения, чтобы раскрыть кубы:

\[ (n+1)^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1, \]

\[ (n+2)^3 = n^3 + 6n^2 + 12n + 8. \]

Теперь сложим эти два выражения:

\[ (n+1)^3 + (n+2)^3 = (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) + (n^3 + 6n^2 + 12n + 8) = 2n^3 + 9n^2 + 15n + 9. \]

Теперь займемся знаменателем:

\[ (n+4)^3 = n^3 + 12n^2 + 48n + 64, \]

\[ (n+5)^3 = n^3 + 15n^2 + 75n + 125. \]

Сложим эти выражения в знаменателе:

\[ (n+4)^3 + (n+5)^3 = (n^3 + 12n^2 + 48n + 64) + (n^3 + 15n^2 + 75n + 125) = 2n^3 + 27n^2 + 123n + 189. \]

Теперь выражение выглядело бы так:

\[ \frac{2n^3 + 9n^2 + 15n + 9}{2n^3 + 27n^2 + 123n + 189}. \]

Шаг 2: Проведем подобные

В числителе и знаменателе мы уже привели все подобные члены в порядок.

Шаг 3: Вынесем старшую степень за скобки

Теперь давайте вынесем \(2n^3\) за скобки в числителе и знаменателе:

Числитель:

\[ 2n^3 \left(1 + \frac{9}{2n} + \frac{15}{2n^2} + \frac{9}{2n^3}\right). \]

Знаменатель:

\[ 2n^3 \left(1 + \frac{27}{2n} + \frac{123}{2n^2} + \frac{189}{2n^3}\right). \]

Теперь наше выражение принимает вид:

\[ \frac{2n^3\left(1 + \frac{9}{2n} + \frac{15}{2n^2} + \frac{9}{2n^3}\right)}{2n^3\left(1 + \frac{27}{2n} + \frac{123}{2n^2} + \frac{189}{2n^3}\right)}. \]

Шаг 4: Сократим возможные выражения

После сокращения \(2n^3\) мы получаем:

\[ \frac{1 + \frac{9}{2n} + \frac{15}{2n^2} + \frac{9}{2n^3}}{1 + \frac{27}{2n} + \frac{123}{2n^2} + \frac{189}{2n^3}}. \]

Шаг 5: Все выражения вида "число/n" заменяем на 0

Теперь, поскольку \(n \to \infty\), все слагаемые вида \(\frac{k}{n}\) стремятся к нулю, и мы можем заменить их на 0:

\[ \frac{1 + 0 + 0 + 0}{1 + 0 + 0 + 0} = \frac{1}{1} = 1. \]

Ответ

Таким образом, предел равен

\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{(n+1)^3 + (n+2)^3}{(n+4)^3 + (n+5)^3} \right) = 1. \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно что-то уточнить, не стесняйтесь спрашивать!