Однородный шар диаметром 4 см весит 256 грамма. Сколько граммов весит шар диаметром 5 см, изготовленный из того же материала?
Чтобы решить задачу, начнем с нахождения плотности материала шара. Плотность (ρ) можно определить по формуле:
\[ ρ = \frac{m}{V} \]
где \( m \) — масса шара, а \( V \) — его объем. Мы знаем, что шар диаметром 4 см весит 256 граммов.
- Находим объем шара. Объем \( V \) шара рассчитывается по формуле:
\[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 \]
где \( r \) — радиус шара. Для шара диаметром 4 см радиус будет равен 2 см:
\[ V = \frac{4}{3} \pi (2)^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 8 = \frac{32}{3} \pi \, \text{см}^3 \]
- Находим плотность материала. Теперь подставим массу и объем в формулу для плотности:
\[ ρ = \frac{256 \, \text{г}}{\frac{32}{3} \pi \, \text{см}^3} = \frac{256 \cdot 3}{32 \pi} = \frac{768}{32 \pi} = \frac{24}{\pi} \, \text{г/см}^3 \]
- Находим массу шара диаметром 5 см. Для шара диаметром 5 см радиус будет равен 2.5 см. Рассчитаем его объем:
\[ V = \frac{4}{3} \pi (2.5)^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 15.625 = \frac{62.5}{3} \pi \, \text{см}^3 \]
Теперь, зная плотность, мы можем найти массу нового шара:
\[ m = ρ \cdot V = \frac{24}{\pi} \cdot \frac{62.5}{3} \pi = \frac{24 \cdot 62.5}{3} = \frac{1500}{3} = 500 \, \text{г} \]
Таким образом, шар диаметром 5 см, изготовленный из того же материала, будет весить 500 граммов.
