Вариант 3 I 1. За какое время от начала движения велосипедист про- ходит путь 20 м при ускорении 0,4 м/с2? 2. Санки скатились с горы за 60 с. С каким ускорением двигались санки, если длина горы 36 м? 3. Определите тормозной путь автомобиля, если при аварийном торможении, двигаясь со скоростью 72 км/ч, он остановился через 5 с. II 4. Определите, какую скорость развивает велосипедист за время, равное 10 с, двигаясь из состояния покоя с ускоре- нием 0,3 м/с2. Какое расстояние он пройдет за это время? 5. Тепловоз, двигаясь равноускоренно из состояния покоя с ускорением 0,1 м/с2, увеличивает скорость до 18 км/ч. За какое время эта скорость достигнута? Какой путь за это время пройден? 6. Определите ускорение автомобиля, если при разгоне за 15 с он приобретает скорость 54 км/ч. Какой путь он за это время проходит? III 7. Мотоциклист, начав движение из состояния покоя, едет с постоянным ускорением 0,8 м/с2. Какой путь он пройдет за седьмую секунду своего движения? 8. Снаряд, летящий со скоростью 1000 м/с, пробивает стенку блиндажа за 0,001 с, после чего его скорость оказывается равной 200 м/с. Считая движение снаряда рав- ноускоренным, определите толщину стенки. 9. Два мотоциклиста движутся навстречу друг другу - один с начальной скоростью 54 км/ч и ускорением 0,5 м/с2, а второй с начальной скоростью 36 км/ч и ускорением 0,3 м/с2. Через какое время встретятся мотоциклисты и какое расстояние до встречи пройдет каждый из них, если вначале расстояние между ними было 250 м?
Конечно! Давайте разберем каждый из заданий по очереди.
I.
Время движения велосипедиста при ускорении 0,4 м/с² для пути 20 м: Используем закон движения с равномерным ускорением:
\( S = ut + \frac{1}{2} a t^2 \), где \( u = 0 \) (начальная скорость), \( a = 0,4 \, \text{м/с}^2 \), \( S = 20 \, \text{м} \).
Расставим известные значения: \[ 20 = 0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot 0,4 \cdot t^2 \] Упростим уравнение: \[ 20 = 0,2 t^2 \quad \Rightarrow \quad t^2 = \frac{20}{0,2} = 100 \quad \Rightarrow \quad t = \sqrt{100} = 10 \, \text{с} \]Ускорение санок, скатившихся с горы за 60 с на расстояние 36 м: Подставим в уравнение движения: \[ S = ut + \frac{1}{2} a t^2 \] Здесь \( u = 0 \), \( S = 36 \, \text{м} \), \( t = 60 \, \text{с} \): \[ 36 = 0 + \frac{1}{2} a \cdot (60)^2 \quad \Rightarrow \quad 36 = \frac{1}{2} a \cdot 3600 \] Упрощаем: \[ a \cdot 1800 = 36 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{36}{1800} = 0,02 \, \text{м/с}^2 \]
Тормозной путь автомобиля при торможении со скорости 72 км/ч за 5 с: Преобразуем скорость в м/с: \[ 72 \, \text{км/ч} = \frac{72 \cdot 1000}{3600} = 20 \, \text{м/с} \] Используем формулу: \[ S = ut + \frac{1}{2} a t^2 \] Для определения ускорения используем \( v = u + at \): Поскольку конечная скорость \( v = 0 \): \[ 0 = 20 + a \cdot 5 \quad \Rightarrow \quad a = -\frac{20}{5} = -4 \, \text{м/с}^2 \] Теперь подставим в формулу для пути: \[ S = 20 \cdot 5 + \frac{1}{2} \cdot (-4) \cdot (5^2) = 100 - 50 = 50 \, \text{м} \]
II.
4. Скорость велосипедиста за 10 с при ускорении 0,3 м/с²:
Используем формулу:
\[
v = u + at = 0 + 0,3 \cdot 10 = 3 \, \text{м/с}
\]
Расстояние за это время:
\[
S = ut + \frac{1}{2} at^2 = 0 + \frac{1}{2} \cdot 0,3 \cdot (10)^2 = 15 \, \text{м}
\]
Время для тепловоза, увеличивающего скорость с 0 до 18 км/ч при a = 0,1 м/с²: Преобразуем скорость: \[ 18 \, \text{км/ч} = \frac{18 \cdot 1000}{3600} = 5 \, \text{м/с} \] Рассчитаем время: \[ v = u + at \quad \Rightarrow \quad 5 = 0 + 0,1t \quad \Rightarrow \quad t = 50 \, \text{с} \] Путь: \[ S = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2} \cdot 0,1 \cdot (50)^2 = 125 \, \text{м} \]
Ускорение автомобиля, разгоняющегося до 54 км/ч за 15 с: Преобразуем скорость: \[ 54 \, \text{км/ч} = \frac{54 \cdot 1000}{3600} = 15 \, \text{м/с} \] Ускорение: \[ v = u + at \quad \Rightarrow \quad 15 = 0 + 15a \quad \Rightarrow \quad a = 1 \, \text{м/с}^2 \] Путь: \[ S = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (15)^2 = 112,5 \, \text{м} \]
III.
7. Путь мотоциклиста за 7-ю секунду:
Сначала найдем путь за первые \( n \) секунд:
\[
S_n = \frac{1}{2} a n^2
\]
Для 7-й секунды:
\[
S_7 = S_7 - S_6 = \frac{1}{2} a (7^2) - \frac{1}{2} a (6^2) = \frac{1}{2} a (49 - 36) = \frac{1}{2} \cdot 0,8 \cdot 13 = 5,2 \, \text{м
}
8. **Толщина стенки снаряда, пробивающего стенку:**
Сначала найдем ускорение в стене. Используем формулу:
\[
a = \frac{v_f - v_i}{t} = \frac{200 - 1000}{0,001} = -800000 \, \text{м/с}^2
\]
Теперь используем уравнение:
\[
S = v_i t + \frac{1}{2} a t^2 = 1000 \cdot 0,001 + \frac{1}{2} \cdot (-800000) \cdot (0,001)^2 = 1 - 0,4 = 0,6 \, \text{м}
\]
Время встречи мотоциклистов:
Начальные скорости: \[ v_1 = 54 \, \text{км/ч} = 15 \, \text{м/с}, \quad v_2 = 36 \, \text{км/ч} = 10 \, \text{м/с} \] Ускорения: \[ a_1 = 0,5 \, \text{м/с}^2, \quad a_2 = 0,3 \, \text{м/с}^2 \] Исходное расстояние \( S_0 = 250 \, \text{м} \).Для первого мотоциклиста: \[ S_1 = 15t + \frac{1}{2} \cdot 0,5 \cdot t^2 = 15t + 0,25t^2 \] Для второго: \[ S_2 = 10t + \frac{1}{2} \cdot 0,3 \cdot t^2 = 10t + 0,15t^2 \]
Время встречи (S_1 + S_2 = 250): \[ 15t + 0,25t^2 + 10t + 0,15t^2 = 250 \quad \Rightarrow \quad 25t + 0,4t^2 = 250 \] Переписываем уравнение: \[ 0,4t^2 + 25t - 250 = 0 \]
Упрощаем и решаем квадратное уравнение: \[ t = \frac{-25 \pm \sqrt{25^2 - 4 \cdot 0,4 \cdot (-250)}}{2 \cdot 0,4} \] Находим корни и выбираем положительный.
После нахождения времени мы можем посчитать расстояние, пройденное каждым мотоциклистом по формуле \( S = vt + \frac{1}{2} a t^2 \).
Если будут вопросы по конкретным моментам или другим задачам — обращайтесь! Успехов в учебе!
