(a¹⁰ ⋅ a)³⋅ a¹⁵: (a⁹ : a⁵)¹²

Чтобы упростить выражение \((a^{10} \cdot a)^3 \cdot a^{15}\) при \((a^9 : a^5)^{12}\), давайте разберёмся по шагам.

1. Упрощение числителя: \[ (a^{10} \cdot a)^3 \cdot a^{15} = (a^{10 + 1})^3 \cdot a^{15} = (a^{11})^3 \cdot a^{15} \] Используя правило степени, мы можем упростить это: \[ (a^{11})^3 = a^{33} \] Таким образом, у нас получится: \[ a^{33} \cdot a^{15} = a^{33 + 15} = a^{48} \]

2. Упрощение знаменателя: \[ (a^9 : a^5)^{12} = (a^9 \cdot a^{-5})^{12} = (a^{9-5})^{12} = (a^4)^{12} \] Снова применяя правило степени, получаем: \[ (a^4)^{12} = a^{4 \cdot 12} = a^{48} \]

3. Теперь можем собрать всё вместе: \[ \frac{a^{48}}{a^{48}} = a^{48 - 48} = a^0 \]

Согласно правилу степеней, \(a^0 = 1\).

Таким образом, итоговое значение выражение: \[ 1 \]