Упростите выражения. В ответе укажите показтель степени.б) (a¹⁰ ⋅ a)³⋅ a¹⁵: (a⁹ : a⁵)¹²

Давайте упростим данное выражение шаг за шагом. У нас есть:

\[ (a^{10} \cdot a)^{3} \cdot a^{15} \div (a^{9} : a^{5})^{12}. \]

1. Начнем с упрощения числа \( (a^{10} \cdot a)^{3} \). Поскольку \( a \) можно записать как \( a^{1} \), мы можем выразить это как: \[ (a^{10} \cdot a^{1})^{3} = (a^{10 + 1})^{3} = (a^{11})^{3} = a^{11 \cdot 3} = a^{33}. \]

2. Теперь добавим \( a^{15} \): \[ a^{33} \cdot a^{15} = a^{33 + 15} = a^{48}. \]

3. Следующий шаг – упростить выражение в знаменателе \( (a^{9} : a^{5})^{12} \). Мы знаем, что деление степеней с одинаковым основанием означает вычитание показателей степени: \[ a^{9} : a^{5} = a^{9 - 5} = a^{4}. \] Теперь возведем это в 12-ю степень: \[ (a^{4})^{12} = a^{4 \cdot 12} = a^{48}. \]

4. Теперь у нас есть: \[ \frac{a^{48}}{a^{48}}. \]

5. С применением свойства дробей с одинаковым основанием, мы вычитаем показатели: \[ a^{48 - 48} = a^{0}. \]

По свойству степеней, \( a^{0} = 1 \) (если \( a \neq 0 \)).

Таким образом, окончательный ответ:

\[ 1. \]