Проверочная работа 1. Найти область определения функции 1) )1lg(nxnxy; 2) 2 6 5 xn x y  ; 3) 4 2 x xn y   2. Исследовать функцию на четность, нечетность 1) xnxysin 3 ; 2) xn xn y    lg; 3) 35 2xnxy; 4) xy2cos4 4  3. Найти периодичность следующих функций 1) 푧 = 푠푖표 표푦; 2) 푧 = 푐푝푠 (3표푦 + 1); 3) 푧 = 푡푔 푛/5∗푥 3 . 4. Исследовать и построить графики следующих функций 1) 2)3( 2  xy; 2) 2 1    x n y; 3) )(log 5.0 nxy ; 4) nxysin 5. Найти точки разрыва функции, если они существует, и построить график функции, определить ее область определения.          5, 5, , )( 2 xп xпx пx xf 6. Даны множества: Х={2,5}, У={3,6}. Перечислите элементы декартова произведения данных множеств и образуйте все подмножества полученного множества. Какое из подмножеств задает соответствие: а) «большее»; б) «меньшее»; в) «меньшее на 1»; г) «меньшее в 3 раза»? 7. Соответствие «число х в два раза больше числа у» рассматривается между множествами Х и У. Каким будет его график, если: а) Х = {2,4,6,8}, Y = N; б) X = [2,8], Y = R, в) X = Y = R. 8. На множестве Х={2, 4, 6, 8} рассматриваются отношения «х=у», «х∶у» и «х больше у на 2». Какое из приведенных подмножеств множества Х×Х задает данные отношения: а) {(4,2), (6,2), (8,2), (6,4), (8,4), (8,6), (2,2), (4,4), (6,6), (8,8)}; б) {(4,2), (6,4), (8,6)}; в) {(2,2), (4,4), (6,6), (8,8)}. 9. На множестве Х={2, 3, 4, 5, 6} заданы отношения «больше» и «больше или равно». Постройте графы и сформулируйте свойства данных отношений. Какое из них обладает свойством рефлексивности? 10. На множестве Х={2, 4, 6, 8, 12} заданы отношения «больше» и «кратно». В чем их сходство и различие? 11. Постройте граф отношения «легче, чем», между элементами множества А={кролик, заяц, собака, поросенок}, если известно, что заяц тяжелее собаки, кролик легче поросенка, а собака тяжелее поросенка. Кто из животных самый легкий и кто самый тяжелый? 12. Х – множество отрезков. Какие из следующих отношений являются отношениями порядка на этом множестве: а) «х равно у»; б) «х длиннее у»; в) «х длиннее у в 3 раза». 13. Упорядочивает ли множество натуральных чисел отношения: а) «больше в 2 раза»; б) «больше на 2»; в) «непосредственно следовать за»; г) «х – делитель у». 14. Решите задачу для младших школьников и укажите свойства отношений, которые были при этом использованы: «Мальчик составил пирамидку из трех колечек: желтого, красного и зеленого. В каком порядке он расположил колечки, если желтое больше зеленого, а красное меньше зеленого?»

Давайте разберем ваши задания по математике шаг за шагом. Постараюсь сделать объяснения понятными и доступными.

1. Найти область определения функции

1. \( y = \frac{\ln(1+n x)}{n} \)

   • Область определения: \( 1 + n x > 0 \) (логарифм определен, когда аргумент положителен).
   • Решение неравенства: \( n x > -1 \), следовательно \( x > -\frac{1}{n} \).

2. \( y = \frac{x^2 - 6}{5 - x} \)

   • Область определения: \( 5 - x \neq 0 \) (знаменатель не может быть равен нулю).
   • Решение: \( x \neq 5 \).

3. \( y = \frac{4}{2 - x^2} \)

   • Область определения: \( 2 - x^2 \neq 0 \).
   • Решение неравенства: \( x^2 \neq 2 \), то есть \( x \neq \sqrt{2} \) и \( x \neq -\sqrt{2} \).

2. Исследовать функцию на четность и нечетность

1. \( y = n \sin x \)

   • Функция нечетная, так как \( \sin(-x) = -\sin x \).

2. \( y = \lg(x+n) \)

   • Функция четная, если \( n \) четное число. Нечетная, если \( n \) нечетное (зависит от значения \( n \)).

3. \( y = 2x^3 - 35 \)

   • Функция нечетная (поскольку кубическая функция нечетна).

4. \( y = 4 \cos^2(x) - 2 \)

   • Функция четная, так как \( \cos(-x) = \cos x \).

3. Найти периодичность функций

1. \( z = \sin(\pi y) \)

   • Период 2.

2. \( z = \cos(3\pi y + 1) \)

   • Период \( \frac{2\pi}{3} \).

3. \( z = \tan(\frac{n}{5} x^3) \)

   • Период \( \frac{5\pi}{n} \).

4. Исследовать и построить графики функций

1. \( y = 3x^2 - 2 \)

   • Парабола, открывающаяся вверх.

2. \( y = \frac{1}{x^2 + 2} \)

   • График гиперболы, имеет асимптоты.

3. \( y = \log_{5}(n) \)

   • Логарифмическая функция, возрастает.

4. \( y = n \sin x \)

   • Непериодическая функция, характерный синусоидальный график.

5. Найти точки разрыва функции и построить график

Функция задана кусочно: \[ f(x) = \begin{cases} x^2, & x < -5 \\ -2x, & -5 \leq x \leq 5 \\ x + 5, & x > 5 \end{cases} \]

• Точки разрыва: \( x = -5 \) и \( x = 5 \).
• Область определения: все вещественные числа, \( \mathbb{R} \).

6. Декартово произведение и подмножества множеств

• Декартово произведение \( X \times Y = \{(2, 3), (2, 6), (5, 3), (5, 6)\} \).
• Подмножества:
  • «большее»: \( \{(5, 3), (5, 6)\} \) — где первый элемент больше второго.
  • «меньшее»: \( \{(2, 3), (2, 6)\} \).
  • «меньшее на 1»: нет таких пар.
  • «меньшее в 3 раза»: в данном случае, также нет таких пар.

7. Графики функций с заданными условиями

1. Если \( X = \{2, 4, 6, 8\}, Y = \mathbb{N} \), график будет точками \( (x, \frac{x}{2}) \).
2. Если \( X = [2, 8], Y = \mathbb{R} \), график — прямая.
3. Если \( X = Y = \mathbb{R} \), график — прямая.

8. Отношения в множествах

• Для \( X = \{2, 4, 6, 8\} \):
  • а) неверно — это отношение больше.
  • б) верно — это «больше на 2».
  • в) верно — это равенство.

9. Отношения на множестве

Графически отношение «больше»: каждый элемент имеет стрелку к большему. Рефлексивность — соответствует.

10. Отношения «больше» и «кратно»

• «Больше» — простое сравнение.
• «Кратно» — имеет дополнительные условия.

11. Граф отношений «легче, чем»

Граф будет направленным. Самый легкий — кролик, самый тяжелый — заяц.

12. Отношения на множестве отрезков

• а) «x равно y» — рефлексивно.
• б) и в) не являются отношениями порядка.

13. Упорядоченность натуральных чисел

• а) не упорядочивает.
• б) упорядочивает.
• в) упорядочивает.
• г) не упорядочивает.

14. Задача с колечками

Для заданных условий правильный порядок: зеленое, желтое, красное.

Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется больше пояснений, не стесняйтесь спрашивать!