Скорость движения точки определяется по закону v=(2𝑡−1)2м/с. Найдите путь S, пройденный точкой за 3-ю секунду
Чтобы найти путь, пройденный точкой за 3-ю секунду, необходимо воспользоваться законом скорости \( v(t) = (2t - 1)^2 \) м/с.
Сначала найдем путь, пройденный за первые 3 секунды, и затем вычтем путь, пройденный за первые 2 секунды.
Путь \( S \) можно вычислить как определенный интеграл от скорости:
\[ S(t) = \int_0^t v(\tau) \, d\tau \]
Выразим путь за 3 секунды:
\[ S(3) = \int_0^3 (2\tau - 1)^2 \, d\tau \]
Для упрощения, сначала разложим квадрат:
\[ (2\tau - 1)^2 = 4\tau^2 - 4\tau + 1 \]
Теперь можем вычислить интеграл:
\[ S(3) = \int_0^3 (4\tau^2 - 4\tau + 1) \, d\tau \]
Этот интеграл можно вычислить по частям:
\[ = 4 \int_0^3 \tau^2 \, d\tau - 4 \int_0^3 \tau \, d\tau + \int_0^3 1 \, d\tau \]
Теперь находим каждый интеграл:
\[ \int_0^3 \tau^2 \, d\tau = \left[ \frac{\tau^3}{3} \right]_0^3 = \frac{27}{3} = 9 \]
\[ \int_0^3 \tau \, d\tau = \left[ \frac{\tau^2}{2} \right]_0^3 = \frac{9}{2} = 4.5 \]
\[ \int_0^3 1 \, d\tau = \left[ \tau \right]_0^3 = 3 \]
Теперь подставим значения обратно в формулу для пути:
\[ S(3) = 4 \cdot 9 - 4 \cdot 4.5 + 3 \] \[ = 36 - 18 + 3 = 21 \, \text{м} \]
Теперь найдем путь за 2 секунды:
\[ S(2) = \int_0^2 (2\tau - 1)^2 \, d\tau \] \[ = \int_0^2 (4\tau^2 - 4\tau + 1) \, d\tau \] \[ = 4 \int_0^2 \tau^2 \, d\tau - 4 \int_0^2 \tau \, d\tau + \int_0^2 1 \, d\tau \]
Каждый интеграл:
\[ \int_0^2 \tau^2 \, d\tau = \left[ \frac{\tau^3}{3} \right]_0^2 = \frac{8}{3} \]
\[ \int_0^2 \tau \, d\tau = \left[ \frac{\tau^2}{2} \right]_0^2 = 2 \]
\[ \int_0^2 1 \, d\tau = 2 \]
Теперь подставим обратно:
\[ S(2) = 4 \cdot \frac{8}{3} - 4 \cdot 2 + 2 \] \[ = \frac{32}{3} - 8 + 2 = \frac{32}{3} - \frac{24}{3} + \frac{6}{3} = \frac{14}{3} \, \text{м} \]
Теперь, чтобы найти путь, пройденный за 3-ю секунду, вычтем:
\[ S_{3-я \, секунда} = S(3) - S(2) = 21 - \frac{14}{3} \]
Чтобы вычесть, преобразуем 21 в дробь:
\[ 21 = \frac{63}{3} \] \[ S_{3-я \, секунда} = \frac{63}{3} - \frac{14}{3} = \frac{49}{3} \, \text{м} \]
Таким образом, путь, пройденный точкой за 3-ю секунду, равен \(\frac{49}{3}\) метров, что примерно равно \(16.33\) метров.
