Корень(3x+x^2)>=1+x

Для решения неравенства \( \sqrt{3x + x^2} \geq 1 + x \), давайте сначала избавимся от квадратного корня. Для этого возведем обе стороны неравенства в квадрат. Однако важно помнить, что при этом нужно учитывать, что обе стороны должны быть неотрицательными.

1. Квадрат обеих сторон: \[ 3x + x^2 \geq (1 + x)^2 \] Раскроем скобки: \[ 3x + x^2 \geq 1 + 2x + x^2 \] Упростим неравенство, вычтя \( x^2 \) из обеих сторон: \[ 3x \geq 1 + 2x \] Теперь вычтем \( 2x \) из обеих сторон: \[ x \geq 1 \]

2. Дополнительные условия: Теперь рассмотрим условие, что \( 3x + x^2 \) должно быть неотрицательным для того, чтобы извлечение корня было корректным: \[ 3x + x^2 \geq 0 \] Эта функция является квадратной и может быть представлена как: \[ x^2 + 3x \geq 0 \] Факториализуем: \[ x(x + 3) \geq 0 \] Решение этого неравенства даёт нам следующие промежутки:

• \( x \leq -3 \)
• \( x \geq 0 \)

3. Объединение условий: Теперь мы имеем два условия:

• \( x \geq 1 \) (из первого неравенства)
• \( x \leq -3 \) или \( x \geq 0 \) (из второго)

Объединим эти условия. Поскольку \( x \geq 1 \) пересекается с \( x \geq 0 \), окончательный ответ будет: \[ x \geq 1 \]

Таким образом, решение неравенства \( \sqrt{3x + x^2} \geq 1 + x \) — это интервал \[ [1, +\infty). \]