А(5;0;0) В(2;5к;2) С(-6; -1; 5) Д(- к; к; -4). Найти при каком к вектор АВ будет перпендикулярно вектору СД
Чтобы определить, при каком значении \( k \) вектор \( \overrightarrow{AB} \) будет перпендикулярным вектору \( \overrightarrow{CD} \), нам нужно сначала вычислить эти векторы.
Вектор \( \overrightarrow{AB} \): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (2 - 5; 5k - 0; 2 - 0) = (-3; 5k; 2) \]
Вектор \( \overrightarrow{CD} \): \[ \overrightarrow{CD} = D - C = (-k + 6; k + 1; -4 - 5) = (-k + 6; k + 1; -9) \]
Теперь мы знаем, что векторы \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{CD} \) перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение двух векторов \( (x_1, y_1, z_1) \) и \( (x_2, y_2, z_2) \) вычисляется по формуле:
\[ x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2 = 0 \]
Подставим координаты наших векторов в формулу скалярного произведения:
\[ (-3)(-k + 6) + (5k)(k + 1) + (2)(-9) = 0 \]
Упростим это выражение:
\[ 3k - 18 + 5k^2 + 5k - 18 = 0 \]
Соберем все члены в одном уравнении:
\[ 5k^2 + 8k - 36 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение. Используем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-36) = 64 + 720 = 784 \]
Дискриминант положителен, значит у уравнения два действительных корня. Найдем корни:
\[ k = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{784}}{2 \cdot 5} = \frac{-8 \pm 28}{10} \]
Это даёт два корня:
- \( k_1 = \frac{20}{10} = 2 \)
- \( k_2 = \frac{-36}{10} = -3.6 \)
Таким образом, вектор \( \overrightarrow{AB} \) будет перпендикулярным вектору \( \overrightarrow{CD} \) при \( k = 2 \) или \( k = -3.6 \).
