Запишите формулу, выражающую натуральное число n, которое: при делении на 7 даёт остаток 2; кратно числу 11; делится нацело на 10.
Давайте запишем условия, которые должны выполняться для натурального числа \( n \):
- \( n \equiv 2 \mod 7 \) (при делении на 7 дает остаток 2).
- \( n \equiv 0 \mod 11 \) (кратно числу 11).
- \( n \equiv 0 \mod 10 \) (делится нацело на 10).
Эти условия можно объединить в систему линейных конгруэнций:
\[ \begin{cases} n \equiv 2 \mod 7, \\ n \equiv 0 \mod 11, \\ n \equiv 0 \mod 10. \end{cases} \]
Теперь мы можем решить эту систему. Начнём с последних двух условий.
Так как \( n \equiv 0 \mod 10 \), это означает, что \( n = 10k \) для некоторкого натурального числа \( k \).
Подставляем это в второе условие:
\[ 10k \equiv 0 \mod 11. \]
Это означает, что \( 10k \) должно быть кратно 11. Для этого \( k \) должно быть кратно 11, так как 10 и 11 взаимно просты. Обозначим \( k = 11m \), где \( m \) — натуральное число. Тогда:
\[ n = 10k = 10 \cdot 11m = 110m. \]
Теперь подставим \( n = 110m \) в первое условие:
\[ 110m \equiv 2 \mod 7. \]
Теперь найдем \( 110 \mod 7 \):
\[ 110 \div 7 \approx 15.714 \quad \Rightarrow \quad 110 = 7 \cdot 15 + 5 \quad \Rightarrow \quad 110 \mod 7 = 5. \]
Поэтому наше уравнение становится:
\[ 5m \equiv 2 \mod 7. \]
Теперь найдем обратный элемент к 5 по модулю 7. Используем метод подбора:
- \( 5 \cdot 1 = 5 \mod 7 \)
- \( 5 \cdot 2 = 10 \equiv 3 \mod 7 \)
- \( 5 \cdot 3 = 15 \equiv 1 \mod 7 \)
Таким образом, обратный элемент к 5 по модулю 7 это 3:
Умножим обе стороны уравнения \( 5m \equiv 2 \mod 7 \) на 3:
\[ m \equiv 3 \cdot 2 \mod 7 \quad \Rightarrow \quad m \equiv 6 \mod 7. \]
Таким образом, \( m \) можно представить как:
\[ m = 7t + 6, \]
где \( t \) — натуральное число. Подставляем \( m \) обратно в выражение для \( n \):
\[ n = 110(7t + 6) = 770t + 660. \]
Получаем общее решение:
\[ n = 770t + 660, \]
где \( t \) — неотрицательное целое число.
