В равнобедренном треугольнике АВС с осно- ванием ВС проведена медиана АМ. Найдите медиану АМ, если периметр треугольника АВС равен 32 см, а периметр треугольника АВМ равен 24 см.
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC и медианой AM, проведенной из вершины A к основанию BC, нам нужно найти длину медианы AM, зная периметры треугольников ABC и ABM.
Обозначим длины сторон следующим образом:
- AB = AC = a (так как треугольник равнобедренный),
- BC = b,
- AM – длина медианы.
Периметр треугольника ABC равен: \[ P_{ABC} = AB + AC + BC = a + a + b = 2a + b = 32 \, \text{см}. \]
Периметр треугольника ABM равен: \[ P_{ABM} = AB + AM + BM = a + AM + \frac{b}{2} = 24 \, \text{см}. \]
Здесь BM = (1/2) * BC, так как AM — медиана и делит основание BC пополам.
Теперь у нас есть система уравнений:
- \( 2a + b = 32 \)
- \( a + AM + \frac{b}{2} = 24 \).
Сначала выразим b из первого уравнения: \[ b = 32 - 2a. \]
Теперь подставим это значение во второе уравнение: \[ a + AM + \frac{32 - 2a}{2} = 24. \]
Упрощаем: \[ a + AM + 16 - a = 24. \] \[ AM + 16 = 24. \] \[ AM = 24 - 16. \] \[ AM = 8 \, \text{см}. \]
Таким образом, длина медианы AM равна 8 см.
