Найдите такое целое число x x , что x 10 < 13 < x + 1 10 10 x < 13 < 10 x+1 .
Давайте решим неравенства по отдельности.
Начнем с первого неравенства:
\[ 10^x < 13 \]
Чтобы найти \( x \), возьмем логарифм по основанию 10:
\[ x < \log_{10}(13) \]
Теперь найдем \( \log_{10}(13) \):
\[ \log_{10}(13) \approx 1.113943 \]
Это означает, что:
\[ x < 1.113943 \]
Поскольку \( x \) должно быть целым числом, то максимальное значение \( x \) может быть равно 1.
Теперь рассмотрим второе неравенство:
\[ 13 < 10^{x+1} \]
Преобразуем его, тоже взяв логарифм:
\[ \log_{10}(13) < x + 1 \]
Отсюда:
\[ x > \log_{10}(13) - 1 \]
Ранее мы вычислили \( \log_{10}(13) \approx 1.113943 \):
\[ x > 1.113943 - 1 \approx 0.113943 \]
Поскольку \( x \) должно быть целым, минимальное значение для \( x \) будет равно 1.
Таким образом, с учетом обоих неравенств, находим:
\[ x = 1 \]
Проверим:
- Для \( x = 1 \):
- \( 10^1 = 10 < 13 \) (верно)
- \( 10^{1+1} = 100 > 13 \) (верно)
Следовательно, решение:
\[ \boxed{1} \]
