Найдите наименьшее значение функции у = х²-2x²+2+3 на отрезке [1; 4].
Чтобы найти наименьшее значение функции \( y = x^2 - 2x^2 + 2 + 3 \) на отрезке \([1; 4]\), сначала упростим выражение для функции.
Функция может быть упрощена следующим образом:
\[ y = x^2 - 2x^2 + 5 \] \[ y = -x^2 + 5 \]
Теперь мы имеем параболу, которая открыта вниз, так как коэффициент при \( x^2 \) отрицательный. Чтобы найти наименьшее значение функции на заданном отрезке \([1; 4]\), нужно проверить значения функции на концах отрезка и в вершине параболы.
Найдем значение функции на границах отрезка:
Для \( x = 1 \): \[ y(1) = -1^2 + 5 = -1 + 5 = 4 \]
Для \( x = 4 \): \[ y(4) = -4^2 + 5 = -16 + 5 = -11 \]
Найдем координату вершины параболы: Вершина параболы \( y = -x^2 + 5 \) находится по формуле \( x = -\frac{b}{2a} \), где \( a = -1 \) и \( b = 0 \).
Подставляем: \[ x = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0 \]
Вершина находилась вне нашего отрезка, так как \( 0 < 1 \).
Теперь у нас есть значения функции для границ отрезка:
- \( y(1) = 4 \)
- \( y(4) = -11 \)
Наименьшее значение функции на отрезке \([1; 4]\) будет равно \( -11 \), которое достигается при \( x = 4 \).
Таким образом, наименьшее значение функции \( y \) на отрезке \([1; 4]\) равно \( -11 \).
