В правильной треугольной пирамиде проведено сечение плоскости проходящей через боковое ребро и апофему противолежащий этому ребру боковой грани двугранный угол при ребре основания пирамиды равен 45° а радиус окружности описанной около сечения равен два корней из 5 Найдите объём пирамиды
Для нахождения объёма правильной треугольной пирамиды можно использовать формулу:
\[ V = \frac{1}{3} S_b h, \]
где \( S_b \) — площадь основания, а \( h \) — высота пирамиды.
- Определим основание. В правильной треугольной пирамиде основание — правильный треугольник. Площадь правильного треугольника со стороной \( a \) вычисляется по формуле:
\[ S_b = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2. \]
- Вычислим высоту. Для нахождения высоты \( h \) мы можем воспользоваться данными об уголах и радиусе описанной окружности. Радиус описанной окружности правильного треугольника (обозначим его \( R \)) вычисляется по формуле:
\[ R = \frac{a}{\sqrt{3}}. \]
В данном случае известно, что радиус окружности описанной около сечения равен \( 2\sqrt{5} \). Соответственно:
\[ \frac{a}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{5}. \]
Из этого уравнения можно найти сторону треугольника:
\[ a = 2\sqrt{5} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{15}. \]
- Найдем площадь основания:
Теперь, подставляя найденное значение \( a \) в формулу площади основания:
\[ S_b = \frac{\sqrt{3}}{4} (2\sqrt{15})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4 \cdot 15 = 15\sqrt{3}. \]
- Вычислим высоту. Используя условия задачи, мы знаем, что угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 45°. В правильной треугольной пирамиде высота \( h \) и радиус описанной окружности (который мы нашли) могут быть связаны через тангенс угла:
\[ h = R \cdot \tan(45°) = R = 2\sqrt{5}. \]
- Вычислим объём пирамиды:
Теперь мы можем подставить найденные значения в формулу для объёма:
\[ V = \frac{1}{3} S_b h = \frac{1}{3} \cdot 15\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{5} = \frac{30\sqrt{15}}{3} = 10\sqrt{15}. \]
Таким образом, объём правильной треугольной пирамиды равен \( 10\sqrt{15} \) кубических единиц.
