Найти величину угла между векторами а(-√2;-√2;-2) b{√2/2;√2/2;-1}

Чтобы найти величину угла между векторами \( \mathbf{a} = (-\sqrt{2}, -\sqrt{2}, -2) \) и \( \mathbf{b} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, -1\right) \), воспользуемся формулой косинуса угла между векторами, которая выглядит следующим образом:

\[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} \]

где \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \) — скалярное произведение векторов, а \( |\mathbf{a}| \) и \( |\mathbf{b}| \) — длины (модули) этих векторов.

1. Вычислим скалярное произведение \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \):

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (-\sqrt{2}) \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + (-\sqrt{2}) \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + (-2) \cdot (-1) \] \[ = -\frac{2}{2} - \frac{2}{2} + 2 = -1 -1 + 2 = 0 \]

2. Вычислим длины векторов:

Для \( \mathbf{a} \): \[ |\mathbf{a}| = \sqrt{(-\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{2})^2 + (-2)^2} = \sqrt{2 + 2 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]

Для \( \mathbf{b} \): \[ |\mathbf{b}| = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + (-1)^2} = \sqrt{\frac{2}{4} + \frac{2}{4} + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \]

3. Подставим значения в формулу:

Поскольку \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 \), имеем: \[ \cos(\theta) = \frac{0}{(2\sqrt{2})(\sqrt{2})} = 0 \]

Это значит, что угол \( \theta \) равен \( \frac{\pi}{2} \) радиан или 90 градусов.

Таким образом, угол между векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) равен 90 градусов.