Даня точки A(1;2;-1) B(2;3;0) C(3;6;-3) D(0;0;-4) найти смешанное произведение векторов с вершиной в точке A

Чтобы найти смешанное произведение векторов с вершиной в точке A, давайте сначала определим необходимые векторы. Векторы AB, AC и AD можно вычислить следующим образом:

1. Вектор AB: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (2 - 1; 3 - 2; 0 - (-1)) = (1; 1; 1) \]

2. Вектор AC: \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (3 - 1; 6 - 2; -3 - (-1)) = (2; 4; -2) \]

3. Вектор AD: \[ \overrightarrow{AD} = D - A = (0 - 1; 0 - 2; -4 - (-1)) = (-1; -2; -3) \]

Теперь, имея векторы AB, AC и AD, мы можем найти смешанное произведение, используя определение смешанного произведения векторов \( \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w} \): \[ \overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}) \] В нашем случае это: \[ \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD}) \]

Сначала найдем векторное произведение \( \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD} \):

\[ \overrightarrow{AC} = (2; 4; -2), \quad \overrightarrow{AD} = (-1; -2; -3) \]

Векторное произведение определяется по формуле: \[ \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix} \]

Подставим значения: \[ \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 4 & -2 \\ -1 & -2 & -3 \end{vmatrix} \]

Вычисляем детерминант: \[ \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD} = \hat{i}(4 \cdot (-3) - (-2) \cdot (-2)) - \hat{j}(2 \cdot (-3) - (-2) \cdot (-1)) + \hat{k}(2 \cdot (-2) - 4 \cdot (-1)) \] \[ = \hat{i}(-12 - 4) - \hat{j}(-6 - 2) + \hat{k}(-4 + 4) \] \[ = \hat{i}(-16) - \hat{j}(-8) + \hat{k}(0) \] \[ = (-16; 8; 0) \]

Теперь подставим это в смешанное произведение: \[ \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD}) = (1; 1; 1) \cdot (-16; 8; 0) \] \[ = 1 \cdot -16 + 1 \cdot 8 + 1 \cdot 0 = -16 + 8 + 0 = -8 \]

Таким образом, смешанное произведение векторов с вершиной в точке A равно \(-8\).