Сумма вертикальных углов в 3 раза больше смежного с ними угла. Найдите вертикальные углы

Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим углы. Пусть угол \( A \) — это один из вертикальных углов, а угол \( B \) — смежный с ним угол. По условию задачи, сумма вертикальных углов (то есть \( A \) и другой вертикальный угол, который обозначим как \( C \)) в 3 раза больше угла \( B \).

1. Поскольку \( A \) и \( C \) — это вертикальные углы, они равны, то есть \( C = A \).

2. Смежные углы \( A \) и \( B \) в сумме дают \( 180^\circ \):

   \( A + B = 180^\circ \).

3. Также из условия известно, что:

   \( A + C = 3B \).

   Так как \( C = A \), можно подставить:

   \( A + A = 3B \), что упрощается до:

   \( 2A = 3B \).

4. Теперь у нас есть две уравнения:

   1. \( A + B = 180^\circ \)
   2. \( 2A = 3B \)

Теперь можно выразить \( B \) из первого уравнения:

\[ B = 180^\circ - A. \]

Подставим это значение во второе уравнение:

\[ 2A = 3(180^\circ - A). \]

Теперь раскроем скобки:

\[ 2A = 540^\circ - 3A. \]

Соберем все \( A \) на одной стороне:

\[ 2A + 3A = 540^\circ, \]

\[ 5A = 540^\circ. \]

Теперь найдем \( A \):

\[ A = \frac{540^\circ}{5} = 108^\circ. \]

Теперь, чтобы найти \( B \):

\[ B = 180^\circ - A = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ. \]

Таким образом, вертикальные углы \( A \) и \( C \) равны \( 108^\circ \), а смежный угол \( B \) равен \( 72^\circ \).