Найти область определения функции f(x)=√(2x^2+3x-2)
Чтобы найти область определения функции \( f(x) = \sqrt{2x^2 + 3x - 2} \), необходимо установить, при каких значениях \( x \) подкоренное выражение неотрицательно, поскольку квадратный корень определен только для неотрицательных чисел.
Итак, начнём с условия, что \( 2x^2 + 3x - 2 \geq 0 \).
Сначала решим неравенство \( 2x^2 + 3x - 2 = 0 \) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25. \] Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два вещественных корня.
Находим корни: \[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2, \] \[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}. \]
Теперь имеем корни \( x_1 = -2 \) и \( x_2 = \frac{1}{2} \). Следовательно, наш многочлен \( 2x^2 + 3x - 2 \) может менять знак в интервалах, связанных с этими корнями. Мы рассмотрим промежутки:
- \( (-\infty, -2) \)
- \( (-2, \frac{1}{2}) \)
- \( (\frac{1}{2}, +\infty) \)
Теперь определим знаки многочлена в этих интервалах:
- Для \( x < -2 \) (например, \( x = -3 \)): \[ 2(-3)^2 + 3(-3) - 2 = 18 - 9 - 2 = 7 \quad (\text{положительно}). \]
- Для \( -2 < x < \frac{1}{2} \) (например, \( x = 0 \)): \[ 2(0)^2 + 3(0) - 2 = -2 \quad (\text{отрицательно}). \]
- Для \( x > \frac{1}{2} \) (например, \( x = 1 \)): \[ 2(1)^2 + 3(1) - 2 = 2 + 3 - 2 = 3 \quad (\text{положительно}). \]
Теперь составим область определения функции, включающую корни, где \( 2x^2 + 3x - 2 = 0 \): \[ x \in (-\infty, -2] \cup [\frac{1}{2}, +\infty). \]
Таким образом, область определения функции \( f(x) = \sqrt{2x^2 + 3x - 2} \) равна \( (-\infty, -2] \cup [\frac{1}{2}, +\infty) \).
