Исследовать функцию по схеме и построить её график: y=x2/4-x2
Давайте исследуем функцию \( y = \frac{x^2}{4} - x^2 \) и построим её график. Для начала упростим выражение:
\[ y = \frac{x^2}{4} - x^2 = \frac{x^2}{4} - \frac{4x^2}{4} = \frac{-3x^2}{4} \]
Таким образом, функция упрощается до:
\[ y = -\frac{3}{4}x^2 \]
Теперь давайте проанализируем ключевые характеристики этой функции.
1. Форма функции
Это квадратичная функция в стандартном виде \( y = ax^2 + bx + c \), где в нашем случае \( a = -\frac{3}{4} \), \( b = 0 \), и \( c = 0 \). Поскольку коэффициент \( a \) отрицательный, график будет параболой, открытой вниз.
2. Вершина параболы
Вершина параболы задаётся формулой:
\[ x_{в} = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot -\frac{3}{4}} = 0 \]
Подставим \( x = 0 \) в уравнение, чтобы найти координату \( y \):
\[ y(0) = -\frac{3}{4}(0)^2 = 0 \]
Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (0, 0) \).
3. Направление ветвей
Поскольку \( a < 0 \), парабола открыта вниз.
4. Пересечения с осями
Ось y: Подставим \( x = 0 \): \[ y(0) = 0 \]
Ось x: Найдём корни уравнения \( y = 0 \): \[ -\frac{3}{4}x^2 = 0 \implies x^2 = 0 \implies x = 0 \]
Таким образом, парабола пересекает ось графика в точке \( (0, 0) \).
5. График функции
Рассмотрим несколько значений \( x \) для построения графика:
При \( x = 2 \): \[ y(2) = -\frac{3}{4}(2)^2 = -\frac{3}{4} \cdot 4 = -3 \]
При \( x = -2 \): \[ y(-2) = -\frac{3}{4}(-2)^2 = -3 \]
Теперь мы можем построить точки:
- \( (0, 0) \)
- \( (2, -3) \)
- \( (-2, -3) \)
6. Построение графика
На координатной плоскости отметим полученные точки и проведем гладкую кривую, которая будет представлять данную параболу, открывающуюся вниз.
График функции выглядит как парабола с вершиной в начале координат и симметричной относительно оси y.
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно разобрать более глубокие аспекты, не стесняйтесь задавать!
