x2-5x-50<0
Чтобы решить неравенство \( x^2 - 5x - 50 < 0 \), начнем с поиска корней соответствующего квадратного уравнения \( x^2 - 5x - 50 = 0 \).
Для нахождения корней можно использовать дискриминант. Формула для дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac \]
В нашем случае \( a = 1 \), \( b = -5 \), \( c = -50 \). Подставим эти значения в формулу:
\[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-50) = 25 + 200 = 225 \]
Поскольку дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня. Чтобы найти эти корни, используем формулу для корней квадратного уравнения:
\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} \]
Подставим значения:
\[ x_1 = \frac{5 + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 15}{2} = \frac{20}{2} = 10 \] \[ x_2 = \frac{5 - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 15}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \]
Таким образом, корни уравнения: \( x_1 = 10 \) и \( x_2 = -5 \).
Теперь нам нужно проанализировать знак многочлена \( x^2 - 5x - 50 \) на интервалах, определяемых корнями: \( (-\infty, -5) \), \( (-5, 10) \), \( (10, +\infty) \).
Интервал \( (-\infty, -5) \): Выберем точку, например, \( x = -6 \): \[ (-6)^2 - 5(-6) - 50 = 36 + 30 - 50 = 16 > 0 \]
Интервал \( (-5, 10) \): Выберем точку, например, \( x = 0 \): \[ 0^2 - 5(0) - 50 = -50 < 0 \]
Интервал \( (10, +\infty) \): Выберем точку, например, \( x = 11 \): \[ 11^2 - 5(11) - 50 = 121 - 55 - 50 = 16 > 0 \]
Таким образом, многочлен \( x^2 - 5x - 50 \) меньше нуля на интервале \( (-5, 10) \).
Ответ: \( (-5, 10) \) — это область, где выполняется неравенство \( x^2 - 5x - 50 < 0 \).
