Первая космическая скорость Искусственный спутник движется вокруг Земли по круговой орбите радиусом 25 000 км. Масса Земли 6 1024 кг. Определите его скорость. 1. 2. Первая космическая скорость для спутника Юпитера, летающего на небольшой высоте, равна 4,5 км/с. Определите массу Юпитера, если радиус планеты 4,38. 108 м.
Чтобы рассчитать первую космическую скорость спутника, мы можем использовать формулу:
\[ v = \sqrt{\frac{GM}{R}} \]
где:
- \(v\) — первая космическая скорость,
- \(G\) — гравитационная постоянная (\(G \approx 6.674 \times 10^{-11} \, \text{м}^3 \, \text{кг}^{-1} \, \text{s}^{-2}\)),
- \(M\) — масса Земли,
- \(R\) — радиус орбиты спутника.
- Скорость искусственного спутника Земли:
Дано:
- \(R = 25000 \, \text{км} = 25000 \times 10^3 \, \text{м} = 2.5 \times 10^7 \, \text{м}\)
- \(M = 6 \times 10^{24} \, \text{кг}\)
Подставим значения в формулу:
\[ v = \sqrt{\frac{(6.674 \times 10^{-11}) \cdot (6 \times 10^{24})}{2.5 \times 10^7}} \]
Вычислим:
- \(G \cdot M = 6.674 \times 10^{-11} \cdot 6 \times 10^{24} \approx 4.0044 \times 10^{14} \),
- \(R = 2.5 \times 10^7\).
- \(\frac{4.0044 \times 10^{14}}{2.5 \times 10^{7}} \approx 1.60176 \times 10^7\).
Теперь найдем корень:
\[ v \approx \sqrt{1.60176 \times 10^7} \approx 4001.43 \, \text{м/с} \approx 4.00 \, \text{км/с} \]
Таким образом, первая космическая скорость для спутника на орбите радиусом 25 000 км составляет примерно 4.00 км/с.
- Масса Юпитера:
Дана первая космическая скорость \(v = 4.5 \, \text{км/с} = 4500 \, \text{м/с}\) и радиус Юпитера \(R = 4.38 \times 10^8 \, \text{м}\).
Используем ту же формулу, чтобы найти массу Юпитера:
\[ M = \frac{v^2 R}{G} \]
Подставим значения:
\[ M = \frac{(4500)^2 \cdot (4.38 \times 10^8)}{6.674 \times 10^{-11}} \]
Вычислим:
- \(4500^2 = 20250000\),
- \(M \approx \frac{20250000 \cdot 4.38 \times 10^8}{6.674 \times 10^{-11}} \approx \frac{8.86 \times 10^{15}}{6.674 \times 10^{-11}} \approx 1.327 \times 10^{26} \, \text{кг}\).
Таким образом, масса Юпитера составляет примерно \(1.327 \times 10^{26} \, \text{кг}\).
