8p2+2p>= 21
Чтобы решить неравенство \(8p^2 + 2p \geq 21\), начнем с переноса 21 на левую сторону:
\[ 8p^2 + 2p - 21 \geq 0. \]
Теперь мы можем решить квадратное неравенство. Для этого сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения:
\[ 8p^2 + 2p - 21 = 0. \]
Мы используем формулу дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\):
- \(a = 8\),
- \(b = 2\),
- \(c = -21\).
Теперь подставим значения:
\[ D = (2)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-21) = 4 + 672 = 676. \]
Находим корни с помощью формулы:
\[ p = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{676}}{2 \cdot 8}. \]
Корень из 676 равен 26, следовательно:
\[ p = \frac{-2 \pm 26}{16}. \]
Теперь вычислим два корня:
\( p_1 = \frac{-2 + 26}{16} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2} = 1.5, \)
\( p_2 = \frac{-2 - 26}{16} = \frac{-28}{16} = -\frac{7}{4} = -1.75. \)
Теперь, у нас есть корни \(p_1 = 1.5\) и \(p_2 = -1.75\). Поскольку это квадратное неравенство, мы будем исследовать знаки на интервалах, определяемых корнями:
- \( (-\infty, -1.75) \)
- \((-1.75, 1.5)\)
- \( (1.5, +\infty) \)
Для каждого интервала можно выбрать тестовую точку и определить знак выражения \(8p^2 + 2p - 21\):
В интервале \( (-\infty, -1.75) \), например, \(p = -2\):
\[ 8(-2)^2 + 2(-2) - 21 = 32 - 4 - 21 = 7 \quad (> 0) \]
В интервале \( (-1.75, 1.5) \), например, \(p = 0\):
\[ 8(0)^2 + 2(0) - 21 = -21 \quad (< 0) \]
В интервале \( (1.5, +\infty) \), например, \(p = 2\):
\[ 8(2)^2 + 2(2) - 21 = 32 + 4 - 21 = 15 \quad (> 0) \]
Теперь мы можем составить интервал, где неравенство выполняется:
\[ p \in (-\infty, -1.75] \cup [1.5, +\infty). \]
Таким образом, решение неравенства \(8p^2 + 2p \geq 21\) — это:
\[ p \leq -1.75 \text{ или } p \geq 1.5. \]
