6. На стороне ВС параллелограмма АВСД взята точка М так, что АВ = ВМ. а) Докажите, что АМ биссектриса угла ВАД. б) найдите периметр параллелограмма, если СД = 8 см, СМ = 6 см. (8 б.)
а) Чтобы доказать, что отрезок \( AM \) является биссектрисой угла \( BAD \), рассмотрим параллелограмм \( ABCD \) и точки \( A \), \( B \), \( C \), \( D \), и \( M \), где \( AB = BM \).
В параллелограмме противоположные стороны равны, то есть \( AB = CD \) и \( AD = BC \). Так как \( M \) находится на стороне \( BC \) и \( AB = BM \), то \( AB = CD = BM \).
Теперь рассмотрим треугольники \( ABM \) и \( ADM \):
- \( AB = BM \) (по условию)
- \( AD = AB \) (так как это стороны параллелограмма)
- \( AM = AM \) (общая сторона)
Таким образом, по признаку равенства треугольников \( ABM \) и \( ADM \) можно заключить, что \( \angle BAM = \angle DAB \). Это означает, что \( AM \) является биссектрисой угла \( BAD \).
б) Теперь найдем периметр параллелограмма \( ABCD \). Периметр \( P \) параллелограмма вычисляется по формуле: \[ P = 2(AB + AD) \]
Из условия задачи знаем, что \( CD = 8 \, \text{см} \) и \( CM = 6 \, \text{см} \). Поскольку параллелограмм имеет равные противоположные стороны, получаем:
\( AB = CD = 8 \, \text{см} \) и \( AD = BC \).
Для нахождения длины стороны \( AD \), используем треугольник \( CMB \): Сумма отрезков \( CM \) и \( BM \) равна \( CB \): \[ CM + BM = BC \]
Зная, что \( BM = AB = 8 \, \text{см} \), получаем: \[ 6 \, \text{см} + 8 \, \text{см} = 14 \, \text{см} \]
Это дает нам длину стороны \( AD \) (или \( BC \)): \[ AD = 14 \, \text{см} \]
Теперь можем подставить значения в формулу для периметра: \[ P = 2(8 \, \text{см} + 14 \, \text{см}) = 2 \times 22 \, \text{см} = 44 \, \text{см} \]
Таким образом, периметр параллелограмма \( ABCD \) равен \( 44 \, \text{см} \).
