Две стороны треугольника равны 4 сантиметра и 7 сантиметров а угол между ними равен 60° найдите третью сторону треугольника и его площадь

Чтобы найти третью сторону треугольника и его площадь, будем использовать теорему косинусов и формулу для площади треугольника.

У нас есть две стороны треугольника: \( a = 4 \) см и \( b = 7 \) см, а угол между ними \( \gamma = 60° \).

1. Находим третью сторону (c) с помощью теоремы косинусов:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma) \]

Сначала посчитаем \( \cos(60°) \):

\[ \cos(60°) = \frac{1}{2} \]

Теперь подставим значения:

\[ c^2 = 4^2 + 7^2 - 2 \cdot 4 \cdot 7 \cdot \frac{1}{2} \] \[ c^2 = 16 + 49 - 28 \] \[ c^2 = 37 \] \[ c = \sqrt{37} \approx 6.08 \text{ см} \]

Таким образом, третья сторона треугольника приблизительно равна 6.08 см.

2. Теперь найдем площадь треугольника. Для этого подойдет формула:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma) \]

Сначала найдем \( \sin(60°) \):

\[ \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Теперь подставим значения:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot 28 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ S = \frac{28\sqrt{3}}{4} = 7\sqrt{3} \approx 12.12 \text{ см}^2 \]

Таким образом, площадь треугольника примерно равна \( 12.12 \text{ см}^2 \).

Ответ: третья сторона треугольника приблизительно 6.08 см, а площадь треугольника приблизительно \( 12.12 \text{ см}^2 \).