3x-15/x²+5x-14≥0

Чтобы решить неравенство \( \frac{3x - 15}{x^2 + 5x - 14} \geq 0 \), следуем пошаговой инструкции.

1. Найдем нули числителя: Числитель равен нулю, когда \( 3x - 15 = 0 \). Решим это уравнение: \[ 3x = 15 \\ x = 5 \] Таким образом, \( x = 5 \) является нулем числителя.

2. Найдем нули знаменателя: Знаменатель равен нулю, когда \( x^2 + 5x - 14 = 0 \). Для того чтобы решить это квадратное уравнение, можем использовать формулу корней: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = 5 \), \( c = -14 \). Подставим значения: \[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14)}}{2 \cdot 1} \\ x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2} \\ x = \frac{-5 \pm \sqrt{81}}{2} \\ x = \frac{-5 \pm 9}{2} \] Таким образом, у нас два корня: \[ x_1 = \frac{4}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{-14}{2} = -7 \] То есть нули знаменателя: \( x = 2 \) и \( x = -7 \).

3. Составим интервалы: Мы имеем критические точки: \( x = -7 \), \( x = 2 \), и \( x = 5 \). Эти точки делят числовую ось на следующие интервалы:

   • \( (-\infty, -7) \)
   • \( (-7, 2) \)
   • \( (2, 5) \)
   • \( (5, +\infty) \)

4. Проверим знак выражения в каждом интервале: Выберем тестовые точки из каждого интервала, чтобы проверить, где неравенство выполняется:

   • Для \( x = -8 \) (из интервала \( (-\infty, -7) \)): \[ \frac{3(-8) - 15}{(-8)^2 + 5(-8) - 14} = \frac{-24 - 15}{64 - 40 - 14} = \frac{-39}{10} < 0 \]
   • Для \( x = 0 \) (из интервала \( (-7, 2) \)): \[ \frac{3(0) - 15}{(0)^2 + 5(0) - 14} = \frac{-15}{-14} > 0 \]
   • Для \( x = 3 \) (из интервала \( (2, 5) \)): \[ \frac{3(3) - 15}{(3)^2 + 5(3) - 14} = \frac{9 - 15}{9 + 15 - 14} = \frac{-6}{10} < 0 \]
   • Для \( x = 6 \) (из интервала \( (5, +\infty) \)): \[ \frac{3(6) - 15}{(6)^2 + 5(6) - 14} = \frac{18 - 15}{36 + 30 - 14} = \frac{3}{52} > 0 \]

5. Соберем результаты: Знак выражения:

   • \( (-\infty, -7) \): отрицательный
   • \( (-7, 2) \): положительный
   • \( (2, 5) \): отрицательный
   • \( (5, +\infty) \): положительный

6. Учет границ: Находим, что числитель равен нулю в точке \( x = 5 \), и это значение включается в решение. Знаменатель равен нулю в точках \( x = 2 \) и \( x = -7 \), но эти значения исключаются из решения.

7. Запишем окончательный ответ: Основываясь на вышеизложенном: \[ x \in (-7, 2) \cup [5, +\infty) \]

Таким образом, решение неравенства \( \frac{3x - 15}{x^2 + 5x - 14} \geq 0 \) — это интервалы \( (-7, 2) \) и \( [5, +\infty) \).