(x ^ 2 + 3) ^ 2 - 32(x ^ 2 + 3) - 273 = 0
Чтобы решить уравнение \((x^2 + 3)^2 - 32(x^2 + 3) - 273 = 0\), начнем с замены переменной. Давайте обозначим \(y = x^2 + 3\). Тогда уравнение перепишется как:
\[ y^2 - 32y - 273 = 0 \]
Теперь мы можем решить это квадратное уравнение, используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Для нашего уравнения \(a = 1\), \(b = -32\), \(c = -273\). Подставим эти значения в формулу:
\[ y = \frac{-(-32) \pm \sqrt{(-32)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-273)}}{2 \cdot 1} \]
Посчитаем дискриминант:
\[ (-32)^2 = 1024 \] \[ -4 \cdot 1 \cdot (-273) = 1092 \] \[ Дискриминант = 1024 + 1092 = 2116 \]
Теперь найдем корни \(y\):
\[ y = \frac{32 \pm \sqrt{2116}}{2} \] \[ \sqrt{2116} = 46 \]
Таким образом, получаем:
\[ y = \frac{32 + 46}{2} = \frac{78}{2} = 39 \] \[ y = \frac{32 - 46}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \]
Теперь у нас два значения \(y\):
- \(y = 39\)
- \(y = -7\)
Вернемся к нашей замене \(y = x^2 + 3\).
Для первого случая:
\[ x^2 + 3 = 39 \implies x^2 = 39 - 3 = 36 \implies x = \pm 6 \]
Для второго случая:
\[ x^2 + 3 = -7 \implies x^2 = -7 - 3 = -10 \]
Поскольку квадрат числа не может быть отрицательным, второй случай не имеет действительных решений.
Итак, окончательные решения уравнения:
\[ x = 6 \quad \text{и} \quad x = -6 \]
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!
