1. Две стороны треугольника равны 6 см и 10v2 см, а угол между ними - 45°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.
Чтобы решить задачу, воспользуемся теоремой косинусов и формулой для вычисления площади треугольника.
- Нахождение третьей стороны треугольника.
У нас есть треугольник с двумя сторонами \(a = 6\) см и \(b = 10\sqrt{2}\) см, и углом между ними \(\gamma = 45^\circ\).
По теореме косинусов, третья сторона \(c\) вычисляется по формуле:
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma) \]
Подставим известные значения:
- \(a^2 = 6^2 = 36\)
- \(b^2 = (10\sqrt{2})^2 = 100 \cdot 2 = 200\)
- \(\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
Теперь подставим все эти значения в формулу:
\[ c^2 = 36 + 200 - 2 \cdot 6 \cdot 10\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Упростим это выражение:
\[ c^2 = 36 + 200 - 60 \cdot 2 \] \[ c^2 = 36 + 200 - 120 \] \[ c^2 = 116 \]
Теперь найдем \(c\):
\[ c = \sqrt{116} = 2\sqrt{29} \]
- Нахождение площади треугольника.
Площадь треугольника можно найти по формуле:
\[ S = \frac{1}{2}ab \cdot \sin(\gamma) \]
Подставим известные данные:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10\sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ) \]
Так как \(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), получаем:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \frac{2}{2} \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 = 30 \]
Таким образом, третья сторона треугольника равна \(2\sqrt{29}\) см, а площадь треугольника составляет \(30\) см².
