Смешав 14 — процентный и 82 — процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 22 — процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50 — процентного раствора той же кислоты, то получили бы 42 — процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 14 — процентного раствора использовали для получения смеси?
Для решения задачи обозначим:
- x — количество 14% раствора,
- y — количество 82% раствора.
Из условия задачи у нас есть два уравнения.
- Первое уравнение связано с общей массой растворов:
\[ x + y + 10 = \text{общая масса раствора} \]
Поскольку после добавления 10 кг чистой воды мы получаем 22% раствор, можно записать второе уравнение, учитывающее содержание кислоты:
\[ 0.14x + 0.82y = 0.22(x + y + 10) \]
- Теперь выполним преобразования:
\[ 0.14x + 0.82y = 0.22x + 0.22y + 2.2 \]
Перенесём все элементы на одну сторону:
\[ 0.14x + 0.82y - 0.22x - 0.22y - 2.2 = 0 \]
Соберём подобные члены:
\[ -0.08x + 0.60y - 2.2 = 0 \]
Умножим уравнение на -100, чтобы избавиться от десятичных дробей:
\[ 8x - 60y + 220 = 0 \quad (1) \]
- Теперь, если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50% раствора, то получили бы 42% раствор:
Подобным образом выписываем уравнение для этой ситуации:
\[ 0.14x + 0.82y + 0.50 \cdot 10 = 0.42(x + y + 10) \]
Преобразуем:
\[ 0.14x + 0.82y + 5 = 0.42x + 0.42y + 4.2 \]
Переносим все на одну сторону:
\[ 0.14x + 0.82y - 0.42x - 0.42y + 0.8 = 0 \]
Соберём подобные члены:
\[ -0.28x + 0.40y + 0.80 = 0 \]
Умножим на -100:
\[ 28x - 40y - 80 = 0 \quad (2) \]
- Теперь у нас есть система двух уравнений:
(1) \( 8x - 60y + 220 = 0 \)
(2) \( 28x - 40y - 80 = 0 \)
Решим эту систему. Первое уравнение можно выразить через y:
\[ 8x + 220 = 60y \implies y = \frac{8x + 220}{60} \]
Теперь подставим y из (1) в (2):
\[ 28x - 40\left(\frac{8x + 220}{60}\right) - 80 = 0 \]
Умножим всё на 60, чтобы избавиться от дробей:
\[ 1680x - 40(8x + 220) - 4800 = 0 \quad \Rightarrow \quad 1680x - 320x - 8800 - 4800 = 0 \]
Соберём подобные:
\[ 1360x - 13600 = 0 \implies 1360x = 13600 \implies x = \frac{13600}{1360} = 10 \]
Таким образом, количество 14% раствора, использованного для получения смеси, составило 10 кг.
Теперь найдём y:
Подставляем x в одно из уравнений:
\[ y = \frac{8 \cdot 10 + 220}{60} = \frac{80 + 220}{60} = \frac{300}{60} = 5 \]
Итак, ответ: использовано 10 кг 14% раствора.
