Какие из чисел 1,2,3-√2, -7+√2 являются корнями квадратного трёхчлена х²-6х+7
Чтобы выяснить, являются ли числа 1, 2, 3 - √2 и -7 + √2 корнями квадратного трёхчлена \(x^2 - 6x + 7\), нам нужно проверить, выполняется ли равенство \(x^2 - 6x + 7 = 0\) для каждого из этих чисел.
Сначала вычислим дискриминант нашего квадратного трёхчлена:
\[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 36 - 28 = 8. \]
Так как дискриминант положительный, это значит, что у нашего уравнения есть два различных действительных корня. Найдем их с помощью формулы корней квадратного уравнения:
\[ x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 3 \pm \sqrt{2}. \]
Таким образом, корнями уравнения \(x^2 - 6x + 7 = 0\) являются \(x_1 = 3 + \sqrt{2}\) и \(x_2 = 3 - \sqrt{2}\).
Теперь проверим каждое из данных чисел:
Для \(1\): \[ 1^2 - 6 \cdot 1 + 7 = 1 - 6 + 7 = 2 \quad (\text{не корень}). \]
Для \(2\): \[ 2^2 - 6 \cdot 2 + 7 = 4 - 12 + 7 = -1 \quad (\text{не корень}). \]
Для \(3 - \sqrt{2}\): \[ (3 - \sqrt{2})^2 - 6(3 - \sqrt{2}) + 7 = (9 - 6\sqrt{2} + 2) - (18 - 6\sqrt{2}) + 7 = 11 - 6\sqrt{2} - 18 + 6\sqrt{2} + 7 = 0 \quad (\text{корень}). \]
Для \(-7 + \sqrt{2}\): \[ (-7 + \sqrt{2})^2 - 6(-7 + \sqrt{2}) + 7 = (49 - 14\sqrt{2} + 2) + 42 - 6\sqrt{2} + 7 = 51 - 20\sqrt{2} \quad (\text{не корень}). \]
Таким образом, из предложенных чисел только \(3 - \sqrt{2}\) является корнем квадратного трёхчлена \(x^2 - 6x + 7\).
