Проверочная работа 1. Найти область определения функции 1) )1lg(nxnxy; 2) 2 6 5 xn x y  ; 3) 4 2 x xn y   2. Исследовать функцию на четность, нечетность 1) xnxysin 3 ; 2) xn xn y    lg; 3) 35 2xnxy; 4) xy2cos4 4  3. Найти периодичность следующих функций 1) 푧 = 푠푖표 표푦; 2) 푧 = 푐푝푠 (3표푦 + 1); 3) 푧 = 푡푔 푛/5∗푥 3 . 4. Исследовать и построить графики следующих функций 1) 2)3( 2  xy; 2) 2 1    x n y; 3) )(log 5.0 nxy ; 4) nxysin 5. Найти точки разрыва функции, если они существует, и построить график функции, определить ее область определения.          5, 5, , )( 2 xп xпx пx xf 6. Даны множества: Х={2,5}, У={3,6}. Перечислите элементы декартова произведения данных множеств и образуйте все подмножества полученного множества. Какое из подмножеств задает соответствие: а) «большее»; б) «меньшее»; в) «меньшее на 1»; г) «меньшее в 3 раза»? 7. Соответствие «число х в два раза больше числа у» рассматривается между множествами Х и У. Каким будет его график, если: а) Х = {2,4,6,8}, Y = N; б) X = [2,8], Y = R, в) X = Y = R.

Давайте разберемся с каждым из пунктов вашего задания.

1. Найти область определения функции

1. \( y = \ln(1 + nx) \) Для определения этой функции необходимо, чтобы аргумент логарифма был больше нуля: \[ 1 + nx > 0 \implies nx > -1 \implies x > -\frac{1}{n} \quad (n \neq 0) \] Таким образом, область определения: \( x > -\frac{1}{n} \).

2. \( y = \frac{5 - x^2}{6 - x} \) Здесь необходимо, чтобы знаменатель не равнялся нулю: \[ 6 - x \neq 0 \implies x \neq 6 \] Область определения: \( x \in \mathbb{R}, x \neq 6 \).

3. \( y = \frac{x^2 - 4}{4 - x} \) Также, чтобы избежать деления на ноль: \[ 4 - x \neq 0 \implies x \neq 4 \] Область определения: \( x \in \mathbb{R}, x \neq 4 \).

2. Исследовать функцию на четность, нечетность

1. \( y = \sin^3(x) \) Функция нечетная, так как \( \sin(-x) = -\sin(x) \).

2. \( y = \lg(x) + x \) Функция нечетная, так как \( \lg(-x) \) не определена, и \( x \) дает нечетность.

3. \( y = 2x^3 - 5 \) Эта функция нечетная, так как \( y(-x) = -2x^3 - 5 \).

4. \( y = 4 \cos^2(x) \) Функция четная, так как \( \cos(-x) = \cos(x) \).

3. Найти периодичность функций

1. \( z = \sin(xy) \) Период \( T = 2\pi/y \).

2. \( z = \cos(3xy + 1) \) Период \( T = \frac{2\pi}{3y} \).

3. \( z = \tan\left(\frac{n}{5} x^3\right) \) Период \( T = \frac{5\pi}{n} \).

4. Исследовать и построить графики функций

1. \( y = 3x^2 - 2 \) Парабола, открытая вверх.

2. \( y = \frac{1}{x} - 2 \) Гипербола, со смещением вниз на 2.

3. \( y = \log(5) \) Это горизонтальная прямая.

4. \( y = x \sin(x) \) Функция осциллирующая, с переменным амплитудой.

5. Найти точки разрыва функции и построить график

Для функции: \[ f(x) = \begin{cases} -x^2 + 2, & x < -5 \\ -3, & -5 \leq x \leq 5 \\ x - 5, & x > 5 \end{cases} \] Точки разрыва: \( x = -5 \) и \( x = 5 \). Область определения: все действительные числа \( \mathbb{R} \).

6. Перечислить элементы декартова произведения

Для множеств \( X = \{2, 5\} \) и \( Y = \{3, 6\} \) декартово произведение: \[ X \times Y = \{(2, 3), (2, 6), (5, 3), (5, 6)\} \] Подмножества полученного множества можно образовать произвольно.

а) Соответствие "большее": \( \{(5, 3), (5, 6)\} \).

б) Соответствие "меньшее": \( \{(2, 3), (2, 6)\} \).

в) Соответствие "меньшее на 1": отсутствует.

г) Соответствие "меньшее в 3 раза": отсутствует.

7. График соответствия "число x в два раза больше числа y"

а) \( X = \{2, 4, 6, 8\}, Y = \mathbb{N} \) График будет представлять все точки вида \( (x, \frac{x}{2}) \).

б) \( X = [2, 8], Y = \mathbb{R} \) График будет представлять прямую, но с ограничением по y.

в) \( X = Y = \mathbb{R} \) Тут график будет представлять собой прямую \( y = \frac{x}{2} \) для всех действительных чисел.

Пускай ваша подготовка к экзаменам будет успешной! Если у вас есть дополнительные вопросы по конкретным темам, не стесняйтесь задавать!