В треугольнике АВС медиана АМ делит сторону ВС пополам. AB = 8 см, AC = 10 см. AM = 5 см. Найдите соѕ угла ВАС.
Чтобы найти значение косинуса угла \( \angle BAC \) в треугольнике \( ABC \), можно воспользоваться теоремой о медиане. По этой теореме длина медианы \( AM \) будет равна:
\[ AM^2 = \frac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{4} \]
Где:
- \( AB = 8 \) см
- \( AC = 10 \) см
- \( AM = 5 \) см
Первым делом подставим известные значения в формулу:
\[ 5^2 = \frac{2 \cdot 8^2 + 2 \cdot 10^2 - BC^2}{4} \]
Теперь вычислим левую часть:
\[ 25 = \frac{2 \cdot 64 + 2 \cdot 100 - BC^2}{4} \]
Суммируем:
\[ 25 = \frac{128 + 200 - BC^2}{4} \]
Умножаем обе стороны на 4:
\[ 100 = 128 + 200 - BC^2 \]
Складываем 128 и 200:
\[ 100 = 328 - BC^2 \]
Теперь выражаем длину \( BC^2 \):
\[ BC^2 = 328 - 100 \]
\[ BC^2 = 228 \]
Итак, \( BC = \sqrt{228} \approx 15.1 \) см.
Теперь мы можем применить закон косинусов, чтобы найти \( \cos \angle BAC \):
\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC \]
Подставляем значения:
\[ 228 = 8^2 + 10^2 - 2 \cdot 8 \cdot 10 \cdot \cos \angle BAC \]
Вычислим \( AB^2 \) и \( AC^2 \):
\[ 228 = 64 + 100 - 160 \cdot \cos \angle BAC \]
Сложим \( 64 + 100 \):
\[ 228 = 164 - 160 \cdot \cos \angle BAC \]
Теперь выразим \( \cos \angle BAC \):
\[ 228 - 164 = -160 \cdot \cos \angle BAC \]
\[ 64 = -160 \cdot \cos \angle BAC \]
Поэтому:
\[ \cos \angle BAC = -\frac{64}{160} = -0.4 \]
Таким образом, косинус угла \( \angle BAC \) равен \( \cos \angle BAC = -0.4 \).
