На окружности , заданной уравнением (x-3) ²+(y-5) ²=25, найдите точки :а) с абсциссой 3;б) с ординатой 5
Для решения данной задачи начнем с уравнения окружности, которое записано в виде:
\[ (x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 25. \]
Это уравнение описывает окружность с центром в точке (3, 5) и радиусом 5 (так как \(\sqrt{25} = 5\)).
Теперь рассмотрим две части вопроса:
а) Найдем точки с абсциссой 3.
Если абсцисса \(x = 3\), подставим это значение в уравнение окружности:
\[ (3 - 3)^2 + (y - 5)^2 = 25. \]
Это упрощается до:
\[ 0 + (y - 5)^2 = 25, \] \[ (y - 5)^2 = 25. \]
Теперь извлечем корень:
\[ y - 5 = 5 \quad \text{или} \quad y - 5 = -5. \]
Решая эти уравнения, получаем:
- \(y - 5 = 5 \Rightarrow y = 10\);
- \(y - 5 = -5 \Rightarrow y = 0\).
Таким образом, точки с абсциссой 3, находящиеся на окружности, это (3, 10) и (3, 0).
б) Найдем точки с ординатой 5.
Если ордината \(y = 5\), подставим это значение в уравнение окружности:
\[ (x - 3)^2 + (5 - 5)^2 = 25. \]
Это упрощается до:
\[ (x - 3)^2 + 0 = 25, \] \[ (x - 3)^2 = 25. \]
Теперь извлекаем корень:
\[ x - 3 = 5 \quad \text{или} \quad x - 3 = -5. \]
Решая эти уравнения, получаем:
- \(x - 3 = 5 \Rightarrow x = 8\);
- \(x - 3 = -5 \Rightarrow x = -2\).
Таким образом, точки с ординатой 5, находящиеся на окружности, это (8, 5) и (-2, 5).
В итоге, мы нашли две группы точек на окружности:
- Для абсциссы 3: (3, 10) и (3, 0).
- Для ординаты 5: (8, 5) и (-2, 5).
