площадь прямоугольного треугольника 168см².Найдите его катеты, если отношения их длин равна 7/12

Для решения этой задачи начнем с формулы для площади прямоугольного треугольника:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b, \]

где \( S \) — площадь, а \( a \) и \( b \) — длины катетов. В данном случае у нас площадь \( S = 168 \, \text{см}^2 \).

Таким образом, мы можем написать уравнение:

\[ \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = 168. \]

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[ a \cdot b = 336. \, (1) \]

Теперь нам известно также, что отношения длин катетов равны \( \frac{7}{12} \). Это можно записать как:

\[ \frac{a}{b} = \frac{7}{12}. \]

Отсюда выразим один из катетов через другой. Например, пусть \( a = \frac{7}{12} b \). Подставим это выражение в уравнение (1):

\[ \left(\frac{7}{12} b\right) \cdot b = 336. \]

Упростим:

\[ \frac{7}{12} b^2 = 336. \]

Умножим обе стороны на 12, чтобы избавиться от дроби:

\[ 7 b^2 = 336 \cdot 12. \]

Посчитаем правую часть:

\[ 336 \cdot 12 = 4032, \]

тогда у нас получается:

\[ 7 b^2 = 4032. \]

Теперь разделим обе стороны на 7:

\[ b^2 = \frac{4032}{7}. \]

Посчитаем:

\[ b^2 = 576 \implies b = \sqrt{576} = 24 \, \text{см}. \]

Теперь, подставив значение \( b \) обратно, найдем \( a \):

\[ a = \frac{7}{12} \cdot 24 = 14 \, \text{см}. \]

Таким образом, катеты прямоугольного треугольника составляют:

• \( a = 14 \, \text{см} \)
• \( b = 24 \, \text{см} \)

Ответ: катеты треугольника равны 14 см и 24 см.