5. В треугольнике ABC угол ABC равен 36◦ , а угол BCA — 48◦ . Из вершин этих углов провели высоты. Найдите острый угол, который образуют эти высоты

В треугольнике ABC угол ABC равен 36°, а угол BCA равен 48°. Для начала найдем угол CAB, используя то, что сумма углов в любом треугольнике равна 180°:

\[ \angle CAB = 180° - \angle ABC - \angle BCA = 180° - 36° - 48° = 96°. \]

Теперь мы знаем все углы треугольника ABC:

• \(\angle ABC = 36°\)
• \(\angle BCA = 48°\)
• \(\angle CAB = 96°\)

Далее, рассмотрим высоты, проведенные из вершин треугольника. Высота, проведенная из вершины A (где угол CAB), будет перпендикулярна основанию BC. Обозначим точку пересечения высот из вершин A и B как точку H.

Высота AH будет образовывать угол с высотой BH. Острый угол, который образуют высоты AH и BH, можно найти, вычислив угол между ними. Угол между двумя высотами можно найти с применением свойств углов и тригонометрии.

Чтобы найти острый угол между AH и BH, можно написать:

\[ \angle AHB = 180° - (\angle ABC + \angle CAB) = 180° - (36° + 96°) = 48°. \]

Таким образом, острый угол, который образуют высоты, будет равен:

\[ 90° - \frac{\angle AHB}{2} = 90° - \frac{48°}{2} = 90° - 24° = 66°. \]

Таким образом, острый угол, который образуют высоты, равен 66°.