Пусть случайная величина 𝑋 — число выпавших решек при подбрасывании 200 монет. С помощью неравенства Чебышёва оцените вероятность того, что разница между числом успехов в этом…
Пусть случайная величина 𝑋 — число выпавших решек при подбрасывании 200 монет. С помощью неравенства Чебышёва оцените вероятность того, что разница между числом успехов в этом испытании и средним числом успехов будет не меньше 20.
Для решения задачи будем использовать неравенство Чебышёва. Сначала определим основные параметры случайной величины \(X\).
Определение вероятностного пространства: Подбрасывание монет — это независимые испытания с вероятностью успеха \(p = 0.5\) (выпадение решки) и \(q = 1 - p = 0.5\) (выпадение орла).
Среднее значение и дисперсия: Количество подбрасываемых монет равно 200. Среднее значение \(X\) можно найти по формуле: \[ \mathbb{E}[X] = n \cdot p = 200 \cdot 0.5 = 100. \] Дисперсия случайной величины \(X\) определяется как: \[ \text{Var}(X) = n \cdot p \cdot q = 200 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 50. \]
Применение неравенства Чебышёва: Неравенство Чебышёва утверждает, что для любого \(k > 0\): \[ P(|X - \mathbb{E}[X]| \geq k \sigma) \leq \frac{1}{k^2}, \] где \(\sigma\) — стандартное отклонение, равное \(\sqrt{\text{Var}(X)}\).
В нашем случае нужно найти вероятность того, что разница между числом успехов и средним числом успехов будет не меньше 20, т.е. нас интересует событие: \[ |X - 100| \geq 20. \] Здесь \(k\) можно найти, используя стандартное отклонение: \[ \sigma = \sqrt{50} \approx 7.07. \] Теперь определим \(k\): \[ k = \frac{20}{\sigma} = \frac{20}{\sqrt{50}} \approx \frac{20}{7.07} \approx 2.83. \]
Нахождение вероятности: Подставим значение \(k\) в неравенство Чебышёва: \[ P(|X - 100| \geq 20) \leq \frac{1}{(2.83)^2} \approx \frac{1}{8} \approx 0.125. \]
Таким образом, по неравенству Чебышёва мы получили, что вероятность того, что разница между числом успехов и средним числом успехов будет не меньше 20, составляет не более 0.125 или 12.5%.
