Указать все значения a, при которых имеет смысл выражение √a(a-4)(a-13)

Чтобы определить все значения \( a \), при которых имеет смысл выражение \( \sqrt{a(a-4)(a-13)} \), необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. То есть:

\[ a(a - 4)(a - 13) \geq 0 \]

Для анализа неравенства рассмотрим корни многочлена \( a(a - 4)(a - 13) = 0 \):

1. \( a = 0 \)
2. \( a = 4 \)
3. \( a = 13 \)

Эти корни разбивают числовую прямую на интервале:

• \( (-\infty, 0) \)
• \( (0, 4) \)
• \( (4, 13) \)
• \( (13, \infty) \)

Теперь исследуем знак выражения в каждом из этих интервалов:

1. В интервале \( (-\infty, 0) \):

   • Пробуем \( a = -1 \): \( (-1)(-1 - 4)(-1 - 13) = (-1)(-5)(-14) = -70 < 0 \).

2. В интервале \( (0, 4) \):

   • Пробуем \( a = 1 \): \( (1)(1 - 4)(1 - 13) = (1)(-3)(-12) = 36 > 0 \).

3. В интервале \( (4, 13) \):

   • Пробуем \( a = 5 \): \( (5)(5 - 4)(5 - 13) = (5)(1)(-8) = -40 < 0 \).

4. В интервале \( (13, \infty) \):

   • Пробуем \( a = 14 \): \( (14)(14 - 4)(14 - 13) = (14)(10)(1) = 140 > 0 \).

Теперь заключим все результаты:

• В интервале \( (-\infty, 0) \): отрицательно.
• В интервале \( (0, 4) \): положительно.
• В интервале \( (4, 13) \): отрицательно.
• В интервале \( (13, \infty) \): положительно.

Таким образом, значения \( a \), для которых выражение имеет смысл, это \( a \) из интервалов \( (0, 4] \) и \( [13, \infty) \).

Ответ: \( a \in (0, 4] \cup [13, \infty) \).