Период колебаний в идеальном колебательном контуре равен T=4,0 мс . Определите минимальный промежуток времени τmin, через который энергия электромагнитных колебаний в контуре…

Для решения задачи необходимо использовать свойства гармонических колебаний в идеальном колебательном контуре, который состоит из конденсатора (С) и катушки индуктивности (L). Период колебаний T равен 4,0 мс.

В идеальном колебательном контуре энергия колебаний распределяется между конденсатором и катушкой. Начальная энергия \(E\) в конденсаторе, когда он полностью заряжен, равна:

\[ E_C = \frac{1}{2} C U^2, \]

где \(U\) — напряжение на конденсаторе.

Энергия в катушке индуктивности будет равна:

\[ E_L = \frac{1}{2} L I^2, \]

где \(I\) — ток в цепи.

В момент времени \(t\) распределение энергий зависит от угловой частоты \(\omega\) колебаний, которая определяется как \(\omega = \frac{2\pi}{T}\). Угловая частота для периода 4,0 мс:

\[ \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4 \times 10^{-3}} \approx 1570 \, \text{рад/с}. \]

При равных начальных условиях, через время \(t\) соотношение энергии \(E_C\) и \(E_L\) будет выглядеть как:

\[ E_C = E \cdot \cos^2(\omega t), \quad E_L = E \cdot \sin^2(\omega t). \]

Требуется найти такой момент времени \(t\), при котором энергия распределится в соотношении 1:4 между конденсатором и катушкой, что можно записать как:

\[ E_C : E_L = 1 : 4 \implies E_C = \frac{1}{5} E, \quad E_L = \frac{4}{5} E. \]

Следовательно, используя выражение для энергии:

\[ \cos^2(\omega t) = \frac{1}{5}, \]

отсюда получаем:

\[ \sin^2(\omega t) = 1 - \cos^2(\omega t) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}. \]

Теперь находим \(\omega t\):

\[ \cos(\omega t) = \frac{1}{\sqrt{5}}. \]

Известно, что:

\[ \omega t = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \quad \text{или} \quad \omega t = 2\pi - \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right). \]

Обратите внимание, что \( t \) будет равно:

\[ t = \frac{1}{\omega} \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right). \]

Теперь подставим значение \(\omega\):

\[ t = \frac{1}{\frac{2\pi}{4 \times 10^{-3}}} \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right). \]

Для нахождения \(\cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\):

\[ \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \approx 1.107 \, \text{рад}. \]

Теперь подставляем в формулу:

\[ t \approx \frac{4 \times 10^{-3}}{2\pi} \cdot 1.107 \approx 0.0007 \, \text{с} \approx 0.7 \, \text{мс}. \]

Таким образом, минимальный промежуток времени \(\tau_{min}\) составит примерно 0.7 мс.