отрезок FA - диаметр сферы. определи радиус сферы R и напиши уравнение сферы, если даны координаты точек F(3;2;1) и A(1;2;3)

Чтобы определить радиус сферы \( R \) и написать уравнение сферы, сначала найдем длину отрезка \( FA \), который является диаметром сферы. Для этого воспользуемся формулой для расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве. Координаты данной точки \( F(3;2;1) \) и \( A(1;2;3) \) предоставляют нам следующую информацию.

Формула для нахождения расстояния \( d \) между точками \( (x_1, y_1, z_1) \) и \( (x_2, y_2, z_2) \) выглядит следующим образом:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \]

Подставим в формулу координаты точек \( F(3;2;1) \) и \( A(1;2;3) \):

\[ d = \sqrt{(1 - 3)^2 + (2 - 2)^2 + (3 - 1)^2} \]

Посчитаем каждое значение:

\[ d = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 + (2)^2} \] \[ d = \sqrt{4 + 0 + 4} \] \[ d = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]

Полученное значение \( d = 2\sqrt{2} \) представляет собой длину диаметра сферы. Чтобы найти радиус \( R \), нужно разделить диаметр пополам:

\[ R = \frac{d}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \]

Теперь мы знаем радиус сферы \( R \).

Следующий шаг — написать уравнение сферы. Общее уравнение сферы с центром в точке \( (x_0, y_0, z_0) \) и радиусом \( R \) записывается так:

\[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2 \]

Сначала найдем координаты центра сферы. Центр находится в середине отрезка \( FA \). Для нахождения середины используем следующие формулы:

\[ x_0 = \frac{x_F + x_A}{2}, \quad y_0 = \frac{y_F + y_A}{2}, \quad z_0 = \frac{z_F + z_A}{2} \]

Подставим координаты:

\[ x_0 = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2, \quad y_0 = \frac{2 + 2}{2} = 2, \quad z_0 = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

Теперь наш центр \( O(2; 2; 2) \).

Подставляем значения в уравнение сферы:

\[ (x - 2)^2 + (y - 2)^2 + (z - 2)^2 = (\sqrt{2})^2 \] \[ (x - 2)^2 + (y - 2)^2 + (z - 2)^2 = 2 \]

Таким образом, уравнение сферы, заданной отрезком \( FA \), будет:

\[ (x - 2)^2 + (y - 2)^2 + (z - 2)^2 = 2 \]

Это завершает нашу задачу! Если у вас есть дополнительные вопросы, буду рад помочь!