Напиши уравнение окружности, которая проходит через точку 10 на оси Ох и через точку 8 на оси Оу, если известно, что центр находится на оси Ох. (Дроби максимально сократите. Если…
Напиши уравнение окружности, которая проходит через точку 10 на оси Ох и через точку 8 на оси Оу, если известно, что центр находится на оси Ох. (Дроби максимально сократите. Если в ответе получилось целое число, то запишите его в виде дроби со знаменателем 1.)
Чтобы написать уравнение окружности, проходящей через заданные точки и с центром на оси Ох, начнем с общепринятой формы уравнения окружности:
\[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \]
где \((a, b)\) — координаты центра окружности, а \(r\) — радиус.
В нашем случае центр окружности находится на оси Ох, следовательно, \(b = 0\). Центр можно обозначить как \((a, 0)\).
Теперь у нас есть две точки, через которые проходит окружность:
- Точка \(A(10, 0)\) на оси Ох.
- Точка \(B(0, 8)\) на оси Оу.
Теперь найдем радиус окружности, используя расстояние от центра до этих точек.
Расстояние от центра окружности до точки \(A(10, 0)\):
\[ r_A = \sqrt{(10 - a)^2 + (0 - 0)^2} = |10 - a| \]
Расстояние от центра окружности до точки \(B(0, 8)\):
\[ r_B = \sqrt{(0 - a)^2 + (8 - 0)^2} = \sqrt{a^2 + 64} \]
Так как обе точки находятся на окружности, мы можем приравнять радиусы:
\[ |10 - a| = \sqrt{a^2 + 64} \]
Теперь рассмотрим два случая для выражения \(|10 - a|\).
Случай 1: \(10 - a \geq 0\), то есть \(a \leq 10\).
Тогда уравнение станет:
\[ 10 - a = \sqrt{a^2 + 64} \]
Квадратируем обе стороны:
\[ (10 - a)^2 = a^2 + 64 \]
Раскроем скобки:
\[ 100 - 20a + a^2 = a^2 + 64 \]
Теперь мы видим, что \(a^2\) сокращается:
\[ 100 - 20a = 64 \]
Преобразуем уравнение:
\[ 36 = 20a \]
Следовательно,
\[ a = \frac{36}{20} = \frac{9}{5} \]
Случай 2: \(10 - a < 0\), то есть \(a > 10\).
Тогда уравнение будет:
\[ -(10 - a) = \sqrt{a^2 + 64} \Rightarrow a - 10 = \sqrt{a^2 + 64} \]
Квадратируем обе стороны:
\[ (a - 10)^2 = a^2 + 64 \]
Раскроем скобки:
\[ a^2 - 20a + 100 = a^2 + 64 \]
Снова сократим \(a^2\):
\[ -20a + 100 = 64 \]
Преобразуем:
\[ -20a = -36 \]
Получаем:
\[ a = \frac{36}{20} = \frac{9}{5} \]
Таким образом, независимо от случая, координируем центр окружности: \((\frac{9}{5}, 0)\).
Теперь найдем радиус \(r\):
\[ r = |10 - \frac{9}{5}| = |10 - 1.8| = |8.2| = \frac{41}{5} \]
Теперь у нас есть все компоненты уравнения окружности:
\[ (x - \frac{9}{5})^2 + (y - 0)^2 = (\frac{41}{5})^2 \]
Радиус в квадрате будет:
\[ (\frac{41}{5})^2 = \frac{1681}{25} \]
Таким образом, уравнение окружности, проходящей через заданные точки, выглядит так:
\[ \left(x - \frac{9}{5}\right)^2 + y^2 = \frac{1681}{25} \]
Это и есть ответ!
