1.Две стороны треугольника равны6 см и 4 √2 см, а угол между ними 135°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь. 2.В треугольнике АВС известно, что АС= 9√3 см, ∠В=60°,∠ С = 45°. Найдите сторону АВ треугольника.

1. Чтобы найти третью сторону треугольника и его площадь, можно использовать теорему косинусов и формулу для площади треугольника.

Дано:

• \( a = 6 \, \text{см} \)
• \( b = 4\sqrt{2} \, \text{см} \)
• \( \gamma = 135° \)

Находим третью сторону \( c \): По теореме косинусов: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma) \] Сначала находим \( \cos(135°) \): \[ \cos(135°) = -\frac{1}{\sqrt{2}} \]

Теперь подставляем значения: \[ c^2 = 6^2 + (4\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 6 \cdot 4\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \] \[ c^2 = 36 + 32 + 48 \] \[ c^2 = 116 \] \[ c = \sqrt{116} = 2\sqrt{29} \, \text{см} \]

Теперь находим площадь \( S \): Формула для площади треугольника: \[ S = \frac{1}{2} ab \sin(\gamma) \] Сначала найдём \( \sin(135°) \): \[ \sin(135°) = \frac{1}{\sqrt{2}} \]

Теперь подставляем: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12 \, \text{см}^2 \]

Ответ:

• Третья сторона \( c = 2\sqrt{29} \, \text{см} \)
• Площадь \( S = 12 \, \text{см}^2 \)

2. В треугольнике \( ABC \) известно:

• \( AC = 9\sqrt{3} \, \text{см} \)
• \( \angle B = 60° \)
• \( \angle C = 45° \)

Для нахождения стороны \( AB \) можно использовать закон синусов.

Сначала найдем угол \( A \): \[ \angle A = 180° - \angle B - \angle C = 180° - 60° - 45° = 75° \]

Теперь, используя закон синусов: \[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} \] Подставляем известные значения: \[ \frac{AB}{\sin(45°)} = \frac{9\sqrt{3}}{\sin(60°)} \] Значения синусов: \[ \sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \, \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Теперь подставляем в уравнение: \[ \frac{AB}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{9\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \] Упрощаем: \[ \frac{AB}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 9 \cdot 2 = 18 \] Теперь найдем \( AB \): \[ AB = 18 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 9\sqrt{2} \, \text{см} \]

Ответ: Сторона \( AB = 9\sqrt{2} \, \text{см} \)