Точки имеют координаты А(1;-1;3)В(3;-1;1)С(-1;1;3) найти а)угол между векторами Ав и ВС б)площадь треугольника АВС

Чтобы решить вашу задачу, начнем с определения векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{BC} \).

1. Нахождение векторов: \[ \vec{AB} = B - A = (3 - 1; -1 + 1; 1 - 3) = (2; 0; -2) \] \[ \vec{BC} = C - B = (-1 - 3; 1 + 1; 3 - 1) = (-4; 2; 2) \]

2. Нахождение угла между векторами: Угол \( \theta \) между векторами можно найти с помощью формулы: \[ \cos \theta = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{BC}}{|\vec{AB}| |\vec{BC}|} \] Сначала вычислим скалярное произведение \( \vec{AB} \cdot \vec{BC} \): \[ \vec{AB} \cdot \vec{BC} = 2 \cdot (-4) + 0 \cdot 2 + (-2) \cdot 2 = -8 + 0 - 4 = -12 \]

Теперь найдем длины векторов \( |\vec{AB}| \) и \( |\vec{BC}| \): \[ |\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 0 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] \[ |\vec{BC}| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \]

Теперь подставим значения в формулу для косинуса угла: \[ \cos \theta = \frac{-12}{(2\sqrt{2})(2\sqrt{6})} = \frac{-12}{4\sqrt{12}} = \frac{-3}{\sqrt{12}} = \frac{-3\sqrt{12}}{12} = \frac{-\sqrt{12}}{4} \]

Теперь найдем угол \( \theta \): \[ \theta = \arccos\left(-\frac{\sqrt{12}}{4}\right) \] Рассчитав значение, получим угол между векторами.

3. Нахождение площади треугольника ABC: Площадь треугольника можно найти с помощью векторного произведения: \[ S = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| \] Сначала найдем вектор \( \vec{AC} \): \[ \vec{AC} = C - A = (-1 - 1; 1 + 1; 3 - 3) = (-2; 2; 0) \]

Теперь вычислим векторное произведение \( \vec{AB} \times \vec{AC} \): \[ \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 0 & -2 \\ -2 & 2 & 0 \end{vmatrix} \]

Вычисляем детерминант: \[ \vec{AB} \times \vec{AC} = \hat{i} (0 \cdot 0 - (-2) \cdot 2) - \hat{j} (2 \cdot 0 - (-2) \cdot -2) + \hat{k} (2 \cdot 2 - 0 \cdot -2) \] \[ = \hat{i} (0 + 4) - \hat{j} (0 - 4) + \hat{k} (4 - 0) = (4; 4; 4) \]

Теперь найдём модуль векторного произведения: \[ |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{4^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \]

Теперь найдем площадь: \[ S = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} (4\sqrt{3}) = 2\sqrt{3} \]

Таким образом, угол между векторами \( AB \) и \( BC \) можно найти с помощью арккосинуса, а площадь треугольника \( ABC \) равна \( 2\sqrt{3} \).