Даны векторы a ( 2,-6, 8) и b(-1,k, -4) при каком значении k векторы 1) коллинеарны 2) перпендикулярны

Чтобы определить, при каком значении \( k \) векторы \( \mathbf{a} = (2, -6, 8) \) и \( \mathbf{b} = (-1, k, -4) \) будут коллинеарны и перпендикулярны, рассмотрим оба случая.

1. Коллинеарные векторы: Векторы коллинеарны, если один из них является скалярным произведением другого. Это означает, что для некоторого скаляра \( \lambda \) выполняется равенство:

\[ \mathbf{b} = \lambda \mathbf{a} \]

То есть:

\[ (-1, k, -4) = \lambda (2, -6, 8) \]

Это дает систему уравнений:

\[ -1 = 2\lambda \\ k = -6\lambda \\ -4 = 8\lambda \]

Решим третье уравнение для \( \lambda \):

\[ \lambda = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2} \]

Теперь подставим значение \( \lambda \) в первое и второе уравнения, чтобы найти \( k \):

1. \( -1 = 2\left(-\frac{1}{2}\right) \) (проверяем: это верно).

2. \( k = -6\left(-\frac{1}{2}\right) = 3 \).

Таким образом, \( k = 3 \) будет значением, при котором векторы коллинеарны.

2. Перпендикулярные векторы: Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Для векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) это значит:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 \]

Скалярное произведение вычисляется следующим образом:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2 \cdot (-1) + (-6) \cdot k + 8 \cdot (-4) \]

Теперь приравняем это к нулю:

\[ -2 - 6k - 32 = 0 \]

Сложим и упростим:

\[ -6k - 34 = 0 \]

Решение:

\[ -6k = 34 \\ k = -\frac{34}{6} = -\frac{17}{3} \]

Таким образом, значение \( k = -\frac{17}{3} \) будет тем, при котором векторы \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) перпендикулярны.

Ответ:

1. Коллинеарны при \( k = 3 \)
2. Перпендикулярны при \( k = -\frac{17}{3} \)