y'+2x²y'+2xy-2x=0
Чтобы решить дифференциальное уравнение \( y' + 2x^2 y' + 2xy - 2x = 0 \), начнем с упрощения. В данном уравнении можно выделить производные и переменные.
Соберем все члены, содержащие \( y' \): \[ (1 + 2x^2)y' + 2xy - 2x = 0. \]
Переносим \( 2xy - 2x \) на другую сторону: \[ (1 + 2x^2)y' = 2x - 2xy. \]
Теперь у нас есть выражение для \( y' \): \[ y' = \frac{2x - 2xy}{1 + 2x^2}. \]
Проанализируем форму уравнения. Мы можем использовать метод разделения переменных или интегрирование. Однако в этом уравнении удобно выделить \( y \): \[ y' = \frac{2x(1 - y)}{1 + 2x^2}. \]
Это позволяет выразить \( y \) через \( x \) более явно. Попробуем соединить переменные: \[ \frac{dy}{1 - y} = \frac{2x \, dx}{1 + 2x^2}. \]
Теперь интегрируем обе стороны. Слева получаем: \[ -\ln |1 - y| + C_1, \] а справа проведем интегрирование: \[ \int \frac{2x}{1 + 2x^2} \, dx. \] Для этого сделаем замену \( u = 1 + 2x^2 \), тогда \( du = 4x \, dx \) и \( \frac{1}{4}du = x \, dx \).
После интеграции получим: \[ \frac{1}{2} \ln(1 + 2x^2) + C_2. \]
Обратно подставляем и решаем:
Получается, что: \[ -\ln|1 - y| = \frac{1}{2} \ln(1 + 2x^2) + C. \] Таким образом, мы можем записать решение уравнения. Применив экспоненту и решив по \( y \), мы получим итоговое выражение, в зависимости от константы интегрирования \( C \).
Если у вас возникли дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!
