Даны координаты точек А, В, С и D (3;4;10). Найдите: 1) координаты векторов АВ и АС и их длины; 2) угол между векторами АВ и АС; 3) векторное произведение АВ, АС и площадь ДАВС;…

Давайте подробно рассмотрим ваш запрос шаг за шагом.

1. Координаты векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \) и их длины

Координаты точек:

• \( A(0;1;2) \)
• \( B(-2;4;2) \)
• \( C(-2;1;8) \)

Вектор \( \vec{AB} \): \[ \vec{AB} = B - A = (-2 - 0; 4 - 1; 2 - 2) = (-2; 3; 0) \]

Вектор \( \vec{AC} \): \[ \vec{AC} = C - A = (-2 - 0; 1 - 1; 8 - 2) = (-2; 0; 6) \]

Длина вектора \( \vec{AB} \): \[ |\vec{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 9 + 0} = \sqrt{13} \]

Длина вектора \( \vec{AC} \): \[ |\vec{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 0 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \]

2. Угол между векторами \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \)

Для нахождения угла \( \theta \) между двумя векторами используем формулу: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} \]

Скалярное произведение \( \vec{AB} \cdot \vec{AC} \): \[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-2)(-2) + (3)(0) + (0)(6) = 4 + 0 + 0 = 4 \]

Теперь подставим в формулу: \[ \cos(\theta) = \frac{4}{\sqrt{13} \cdot 2\sqrt{10}} = \frac{4}{2 \sqrt{130}} = \frac{2}{\sqrt{130}} \]

Угол \( \theta \): \[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{130}}\right) \]

3. Векторное произведение \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \) и площадь параллелограмма DABC

Векторное произведение \( \vec{AB} \times \vec{AC} \) вычисляется как: \[ \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & 3 & 0 \\ -2 & 0 & 6 \end{vmatrix} \]

Вычисление определителя: \[ = \hat{i} (3 \cdot 6 - 0 \cdot 0) - \hat{j} (-2 \cdot 6 - 0 \cdot -2) + \hat{k} (-2 \cdot 0 - (-2) \cdot 3) \] \[ = 18\hat{i} + 12\hat{j} + 6\hat{k} \]

Площадь параллелограмма: \[ S = |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{18^2 + 12^2 + 6^2} = \sqrt{324 + 144 + 36} = \sqrt{504} = 6\sqrt{14} \]

4. Смешанное произведение векторов \( \vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD} \) и объем пирамиды DABC

Координаты точки D:

• \( D(3; 4; 10) \)

Вектор \( \vec{AD} \): \[ \vec{AD} = D - A = (3 - 0; 4 - 1; 10 - 2) = (3; 3; 8) \]

Теперь вычислим смешанное произведение \( \vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD} \): \[ V = \begin{vmatrix} \vec{AB} & \vec{AC} & \vec{AD} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -2 & 3 & 3 \\ -2 & 0 & 3 \\ 0 & 6 & 8 \end{vmatrix} \]

Вычисление определителя: \[ V = -2 \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 6 & 8 \end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix} -2 & 3 \\ 0 & 8 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} -2 & 3 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} \]

Вычислим каждый из определителей: \[ V = -2(0 \cdot 8 - 3 \cdot 6) - 3((-2) \cdot 8 - 3 \cdot 0) + 3((-2) \cdot 0 - 3 \cdot (-2)) \] \[ = -2(-18) - 3(-16) + 3(6) = 36 + 48 + 18 = 102 \]

Объем пирамиды: \[ V_{пирамида} = \frac{1}{6} |V| = \frac{102}{6} = 17 \]

Резюме:

1. Координаты векторов: \( \vec{AB} = (-2; 3; 0) \), \( \vec{AC} = (-2; 0; 6) \). Длина \( |\vec{AB}| = \sqrt{13} \), \( |\vec{AC}| = 2\sqrt{10} \).

2. Угол \( \theta = \cos^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{130}}\right) \).

3. Векторное произведение: \( (18; 12; 6) \), площадь DABC равна \( 6\sqrt{14} \).

4. Смешанное произведение: \( 102 \), объем пирамиды \( 17 \).

Если у вас есть дополнительные вопросы или хотите подробнее разобраться в каком-то аспекте, не стесняйтесь спрашивать!