В треугольнике ABC проведена медиана BM, на стороне AB взята точка так что AK=1/3AB площадь треугольника AMK равна 5. Найдите площадь треугольника

Для того чтобы найти площадь треугольника \( ABC \), необходимо использовать соотношения, связанные с медианами и площадями треугольников.

1. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. Таким образом, площадь треугольника \( ABM \) равна половине площади треугольника \( ABC \): \[ S_{ABM} = \frac{1}{2} S_{ABC} \]

2. Точка \( K \) делит отрезок \( AB \) в отношении \( AK : KB = 1:2 \). Это значит, что \( AK = \frac{1}{3} AB \) и \( KB = \frac{2}{3} AB \).

3. Можно воспользоваться тем фактом, что если точка на стороне делит эту сторону в отношении \( m:n \), то площади треугольников, образованных этой точкой, также находятся в таком же отношении. В нашем случае, площади \( AMK \) и \( BKM \) находятся в отношении \( 1:2 \): \[ S_{AMK} : S_{BKM} = 1:2 \]

Уже известно, что площадь треугольника \( AMK \) равна 5: \[ S_{AMK} = 5 \]

Согласно соотношению площадей, теперь найдем площадь треугольника \( BKM \): \[ S_{BKM} = 2 \cdot S_{AMK} = 2 \cdot 5 = 10 \]

4. Следовательно, площадь треугольника \( ABM \) будет равна сумме площадей треугольников \( AMK \) и \( BKM \): \[ S_{ABM} = S_{AMK} + S_{BKM} = 5 + 10 = 15 \]

5. Напоследок, теперь найдем площадь всего треугольника \( ABC \): \[ S_{ABC} = 2 \cdot S_{ABM} = 2 \cdot 15 = 30 \]

Таким образом, площадь треугольника \( ABC \) равна \( 30 \).