Cos8x×cos4x+sin8x×sin4x=-1/2

Для решения уравнения \( \cos(8x) \cdot \cos(4x) + \sin(8x) \cdot \sin(4x) = -\frac{1}{2} \) можно использовать формулу косинуса суммы углов:

\[ \cos(a - b) = \cos(a) \cdot \cos(b) + \sin(a) \cdot \sin(b). \]

В данном случае, \( a = 8x \) и \( b = 4x \). Следовательно, уравнение можно переписать как:

\[ \cos(8x - 4x) = \cos(4x). \]

Теперь у нас остается уравнение:

\[ \cos(4x) = -\frac{1}{2}. \]

Для поиска значений, при которых \( \cos(4x) = -\frac{1}{2} \), вспомним, что косинус равен \(-\frac{1}{2}\) в следующих случаях:

\[ 4x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{или} \quad 4x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi, \]

где \( k \) - любое целое число.

Теперь, решим каждый из случаев для \( x \):

1. Из первого уравнения: \[ 4x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \implies x = \frac{2\pi}{12} + \frac{k\pi}{2} = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}. \]

2. Из второго уравнения: \[ 4x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \implies x = \frac{4\pi}{12} + \frac{k\pi}{2} = \frac{\pi}{3} + \frac{k\pi}{2}. \]

Таким образом, решения уравнения \( \cos(8x) \cdot \cos(4x) + \sin(8x) \cdot \sin(4x) = -\frac{1}{2} \) имеют вид:

\[ x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2} \quad \text{и} \quad x = \frac{\pi}{3} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}. \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно больше пояснений, дайте знать!