cos3x×cos4x-sin3x×sin4x=1/2
Чтобы решить уравнение \( \cos(3x) \cdot \cos(4x) - \sin(3x) \cdot \sin(4x) = \frac{1}{2} \), можно воспользоваться формулой косинуса для разности углов:
\[ \cos(a - b) = \cos a \cdot \cos b + \sin a \cdot \sin b \]
Однако в данном уравнении присутствует вычитание, поэтому мы применим обратную формулу:
\[ \cos(a + b) = \cos a \cdot \cos b - \sin a \cdot \sin b \]
Подставим \( a = 3x \) и \( b = 4x \):
\[ \cos(3x + 4x) = \cos(7x) \]
Таким образом, уравнение можно записать как:
\[ \cos(7x) = \frac{1}{2} \]
Для нахождения \( x \) из этого уравнения вспомним, что \( \cos(\theta) = \frac{1}{2} \) имеет решения:
\[ \theta = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{или} \quad \theta = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Теперь подставим \( 7x \):
\[ 7x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{или} \quad 7x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \]
Теперь решим для \( x \):
\( 7x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \) \[ x = \frac{\pi}{21} + \frac{2k\pi}{7} \]
\( 7x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \) \[ x = -\frac{\pi}{21} + \frac{2k\pi}{7} \]
Таким образом, общее решение уравнения \( \cos(3x) \cdot \cos(4x) - \sin(3x) \cdot \sin(4x) = \frac{1}{2} \) можно записать как:
\[ x = \frac{\pi}{21} + \frac{2k\pi}{7} \quad \text{или} \quad x = -\frac{\pi}{21} + \frac{2k\pi}{7}, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Если есть дополнительные вопросы или нужно больше пояснений, не стесняйтесь спрашивать!
