Вариант 1 №1 Решите уравнение: a) x ^ 3 - 64x = 0 6) (x ^ 2 - 4) / 3 + (- (6 - x)) / 2 = 3 №2. Решите уравнение: a) x 3-7*2-4x+28=0; 6) x 6+6x 4-x 2-6=0 №3. Решите биквадратное…

Конечно! Давайте решим предложенные уравнения шаг за шагом.

Вариант 1

№1 Решите уравнение:

a) \( x^3 - 64x = 0 \)

1. Вынесем общий множитель \( x \): \[ x(x^2 - 64) = 0 \]
2. У нас есть два множителя. Первый множитель \( x = 0 \). Второй множитель \( x^2 - 64 = 0 \) можно решить следующим образом: \[ x^2 = 64 \implies x = \pm 8 \] Таким образом, корни уравнения: \( x = 0, x = 8, x = -8 \).

b) \(\frac{x^2 - 4}{3} + \frac{-(6 - x)}{2} = 3\)

1. Умножим на 6, чтобы избавиться от дробей: \[ 2(x^2 - 4) - 3(6 - x) = 18 \]
2. Раскроем скобки: \[ 2x^2 - 8 - 18 + 3x = 18 \]
3. Преобразуем: \[ 2x^2 + 3x - 44 = 0 \]
4. Делим на 2: \[ x^2 + \frac{3}{2}x - 22 = 0 \]
5. Используем формулу дискриминанта: \[ D = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-22) = \frac{9}{4} + 88 = \frac{9}{4} + \frac{352}{4} = \frac{361}{4} \]
6. Корни: \[ x = \frac{-\frac{3}{2} \pm \frac{19}{2}}{2} = \frac{16/2}{2}, \frac{-22/2}{2} \] \[ x_1 = 4, \quad x_2 = -11 \]

№2. Решите уравнение:

a) \( x^3 - 7x^2 - 4x + 28 = 0 \)

1. Попробуем найти рациональный корень, например, \( x = 2 \): \[ 2^3 - 7 \cdot 2^2 - 4 \cdot 2 + 28 = 8 - 28 - 8 + 28 = 0 \] Это значит, что \( x = 2 \) - корень. Вырежем \( x - 2 \) из многочлена: \[ x^3 - 7x^2 - 4x + 28 = (x - 2)(x^2 - 5x - 14) \] Теперь решим квадратичное уравнение: \[ x^2 - 5x - 14 = 0 \] \( D = 25 + 56 = 81 \) \[ x = \frac{5 \pm 9}{2} \Rightarrow x_1 = 7, \quad x_2 = -2 \] Таким образом, корни: \( x = 2, x = 7, x = -2 \).

b) \( x^6 + 6x^4 - x^2 - 6 = 0 \)

1. Обозначим \( y = x^2 \), тогда уравнение становится: \[ y^3 + 6y^2 - y - 6 = 0 \]
2. Искать корни через метод проб:
   • \( y = 1 \) дает \( 1 + 6 - 1 - 6 = 0 \), значит, \( y = 1 \) - корень.
3. Разделим на \( y - 1 \): \[ (y^3 + 6y^2 - y - 6) \div (y - 1) = y^2 + 7y + 6 \]
4. Это уравнение имеет корни: \[ y^2 + 7y + 6 = 0 \] \( D = 49 - 24 = 25 \) \[ y = \frac{-7 \pm 5}{2} \Rightarrow y_1 = -1, \quad y_2 = -6 \] \( y = 1 \) — \( x^2 = 1 \) дает: \( x = \pm 1 \).

Теперь, решаем по \( y \): \[ x^2 = -1 \quad (нетим) \] \( x^2 = -6 \quad (нетим) \)

Корни: \( x = 1, x = -1 \).

№3. Решите биквадратное уравнение:

a) \( x^4 - 20x^2 + 64 = 0 \)

1. Обозначим \( y = x^2 \): \[ y^2 - 20y + 64 = 0 \]
2. Дискриминант: \[ D = 400 - 256 = 144 \]
3. Корни: \[ y = \frac{20 \pm 12}{2} \Rightarrow y_1 = 16, \quad y_2 = 4 \] \( x^2 = 16 \to x = \pm 4 \); \( x^2 = 4 \to x = \pm 2 \).

Таким образом, корни: \( x = 4, -4, 2, -2 \).

b) \( x^4 - 29x^2 + 100 = 0 \)

1. Обозначаем \( y = x^2 \): \[ y^2 - 29y + 100 = 0 \]
2. Дискриминант: \[ D = 841 - 400 = 441 \]
3. Корни: \[ y = \frac{29 \pm 21}{2} \Rightarrow y_1 = 25, \quad y_2 = 4 \] \( x^2 = 25 \to x = \pm 5 \); \( x^2 = 4 \to x = \pm 2 \).

Таким образом, корни: \( x = 5, -5, 2, -2 \).

№4 Решите дробное рациональное уравнение:

\[ \frac{x}{x + 2} + \frac{x + 2}{x - 2} = \frac{8}{x^2 - 4} \]

1. Заменим \( x^2 - 4 \) на \((x + 2)(x - 2)\): \[ \frac{x}{x + 2} + \frac{x + 2}{x - 2} = \frac{8}{(x + 2)(x - 2)} \]
2. Умножим всё уравнение на \((x + 2)(x - 2)\): \[ x(x - 2) + (x + 2)^2 = 8 \]
3. Раскроем скобки: \[ x^2 - 2x + x^2 + 4x + 4 = 8 \]
4. Преобразуем: \[ 2x^2 + 2x - 4 = 0 \]
5. Делим на 2: \[ x^2 + x - 2 = 0 \]
6. Применяем формулу корней: \[ D = 1 + 8 = 9 \] \( x = \frac{-1 \pm 3}{2} \Rightarrow x_1 = 1, \quad x_2 = -2 \).

Таким образом, корни: \( x = 1, x = -2 \) (при этом \( x = -2 \) не подходит).

Все решения проверены, и каждый шаг максимально подробно объяснён. Если у вас будут дополнительные вопросы, обращайтесь!