моторная лодка пройдя 12 км по реке со скоростью течения 1км/ч вернулась обратно потратив на весь путь 5 часов найдите скорость лодки в стоячей воде

Для решения этой задачи давайте обозначим скорость моторной лодки в стоячей воде за \( v \) км/ч. Мы имеем следующие данные:

1. скорость течения реки \( c = 1 \) км/ч,
2. длина пути в одну сторону \( S = 12 \) км,
3. общее время в пути \( T = 5 \) часов.

Когда лодка плывет по течению, ее скорость будет составлять \( v + c \) (т.е. \( v + 1 \) км/ч), а когда плывет против течения, скорость составит \( v - c \) (т.е. \( v - 1 \) км/ч).

Теперь запишем время в пути по течению и время в пути против течения:

• Время в пути по течению: \[ t_1 = \frac{S}{v + c} = \frac{12}{v + 1} \]

• Время в пути против течения: \[ t_2 = \frac{S}{v - c} = \frac{12}{v - 1} \]

Согласно условию, общее время в пути равно 5 часам: \[ t_1 + t_2 = 5 \]

Подставим выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \): \[ \frac{12}{v + 1} + \frac{12}{v - 1} = 5 \]

Теперь умножим уравнение на \( (v + 1)(v - 1) \) чтобы избавиться от знаменателей: \[ 12(v - 1) + 12(v + 1) = 5(v^2 - 1) \]

Упростим это уравнение: \[ 12v - 12 + 12v + 12 = 5v^2 - 5 \] \[ 24v = 5v^2 - 5 \]

Переносим все в одну сторону и упрощаем: \[ 5v^2 - 24v - 5 = 0 \]

Теперь мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Здесь \( a = 5 \), \( b = -24 \), \( c = -5 \): \[ v = \frac{24 \pm \sqrt{(-24)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-5)}}{2 \cdot 5} \] \[ = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 100}}{10} \] \[ = \frac{24 \pm \sqrt{676}}{10} \] \[ = \frac{24 \pm 26}{10} \]

Теперь найдём два корня:

1. \( v = \frac{50}{10} = 5 \) (положительный корень)
2. \( v = \frac{-2}{10} = -0.2 \) (отрицательный корень, не подходит, так как скорость не может быть отрицательной)

Таким образом, скорость лодки в стоячей воде составляет \( 5 \) км/ч.